Принцип Арнольда в физике
Великий советский математик Владимир Арнольд знаменит не только своими научными достижениями и научно-популярными текстами, но и активной деятельностью по восстановлению справедливости в отношении других математиков. В своих выступлениях за рубежом и дома он не уставал отстаивать приоритет настоящих авторов в получении тех или иных результатов.
Эта деятельность Арнольда была настолько заметной, что другой великий математик Майкл Берри (который, кстати, интересен также тем, что в 2000 году получил совместно с будущим нобелевским лауреатом Андреем Геймом пародийную Шнобелевскую премию — за вполне серьёзный на самом деле эксперимент по левитации лягушки в магнитном поле) даже сформулировал принцип Арнольда: “Открытия редко носят имя того, кто это открытие сделал.” Сам Арнольд в своей лекции 1997 года в Париже переформулировал этот принцип так: “Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя.” И справедливо дополнил его принципом Берри: “Принцип Арнольда применим к самому себе”.
Хотелось бы даже добавить — не только к самому себе, но практически везде. Например, Америка носит имя Америго Веспуччи, а не Христофора Колумба. Так как я сам физик, то расскажу о примерах из физики.
Все мы в школе изучали число Авогадро — это, напомню, количество структурных единиц (атомов, молекул и т. п.) в 1 моле вещества. Интересно, однако, что сам Амедео Авогадро значения этого числа не знал. Он лишь выдвинул гипотезу, что это число одно и то же для разных веществ. Само же число первым полвека спустя определил Иоганн Йозеф Лошмидт (он ошибся почти в 15 раз, но его быстро поправил Джеймс Максвелл, который получил довольно точное значение). Лошмидт, правда, не остался обделённым. Его имя носит число равное количеству структурных единиц кубического метра газа при нормальных условиях. Те, кто помнит школьную физику, поймёт, что это число отличается от числа Авогадро лишь множителем равным молярному объёму.
Этот пример, правда, нехарактерен. В нём число получило имя не того, кто открыл его позже, а того, кто вообще его не открывал, но жил раньше.
Но есть в истории физики и более классические примеры принципа Арнольда.
В квантовой физике хорошо известны так называемые уровни Ландау — это значения энергии, которые может иметь электрон, помещённый в магнитное поле. Так вот ещё за два года до Льва Давидовича похожую задачу решил другой известный советский физик Владимир Фок. Кроме того, более общую задачу в то же время решил и американец Исидор Раби. А одновременно с работой Ландау вышла ещё и работа Якова Френкеля и Матвея Бронштейна, в которой тоже было рассмотрено движение электрона в магнитном поле с точки зрения квантовой механики. Но ни одного из эти имён в названии не осталось. Отчасти, видимо, потому, что только Ландау связал своё решение с нерешённой на тот момент проблемой природного магнетизма некоторых веществ — так называемых диамагнетиков.
Ещё одну довольно распространённую схему присвоения имени эффекта не тому учёному можно рассмотреть на примере динамического эффекта Казимира. Дело в том, что Хендрик Казимир исследовал в 1948 году только стационарный эффект — он заключается в том, что две плоские незаряженные металлические пластинки, расположенные достаточно близко друг к другу в вакууме, притягиваются из-за наличия в этом самом вакууме виртуальных частиц.
И только через почти 20 лет, в 1970 году, американский физик Джеральд Мур додумался, что эти виртуальные частицы можно превратить во вполне реальные, если заставить пластинки сильно колебаться. Экспериментальное подтверждение динамического эффекта Казимира в 2011 году было названо журналом Nature главной научной новостью года, обогнав даже опровергнутые сверхсветовые нейтрино. Но имя Мура за эффектом не закрепилось, хотя он, пожалуй, этого всё-таки заслуживал.
Есть и много других занимательных примеров принципа Арнольда из мира физики. Всех заинтересовавшихся спешу отправить к статьям
американского физика Джона Дэвида Джексона
(тем, кто обучался на одном из физфаков нашей страны, возможно, будет интересно узнать, что это тот самый Джексон, который написал классический учебник по электродинамике) и некого
профессора Вельвела Хушвотера
.
Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.
Принцип Арнольда | Д. С. Кулябов
Обновлено
2021-06-06
2 мин.
для прочтения
сиянс
Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя.
Содержание1 Описание
Данный принцип имеет несколько названий (в соответствии с содержание принципа).
1.1 Принцип Арнольда
- Принцип Арнольда
- Принцип именования известных научных результатов: «Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя».
- Арнольд, Владимир И. (Январь-Февраль 1998). «О преподавании математики». Успехи математических наук 53 (1): 319.
- Арнольд, В. И. Новый обскурантизм и российское просвещение. — Москва : ФАЗИС, 2003. — ISBN 5-7036-0083-9.
- Принцип именования известных научных результатов: «Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя».
1.2 Закон Стиглера
- Закон Стиглера об эпонимии (Stigler’s law of eponymy)
- Описано профессором статистики Стивеном Стиглером.
- Stigler, Stephen M. (1980). Gieryn, F., ed. “Stigler’s law of eponymy”. Transactions of the New York Academy of Sciences.
39: 147—58. - В простейшей формулировке он гласит: «Никакое научное открытие не было названо в честь первооткрывателя» (No scientific discovery is named after its original discoverer).
- Сам Стиглер считал, что первооткрывателем закона был Роберт Мертон, таким образом, закон Стиглера применим к самому себе.
39: 147—58.2 Примеры
2.1 Закон Бойля–Мариотта
- Автором следует считать Гука.
- Гук был небогатым человеком и начал свою деятельность в качестве ассистента (лаборанта) у Бойля.
- Бойль действительно первым опубликовал его в 1660 году в своей книге, но со ссылкой на Гука как на автора закона, не претендуя даже на соавторство.
2.2 Ряд Тейлора
- Автором следует считать Ньютона.
- Тейлор был учеником Ньютона.
- Соответствующая работа относится к 1715 году.
- Можно сказать, что в работах Ньютона рядов Тейлора вообще нет.
- Ньютон нашёл разложения всех элементарных функций — синуса, экспоненты, логарифма и т. д. — в ряды Тейлора и таким образом убедился, что все встречающиеся в анализе функции разлагаются в степенные ряды.
- Ньютон вывел аналогичную ряду Тейлора формулу в исчислении конечных разностей — формулу Ньютона.
- У Ньютона есть и сама формула Тейлора в общем виде, только в тех местах, где должны быть факториалы, стоят какие-то не выписанные явно коэффициенты.
д. — в ряды Тейлора и таким образом убедился, что все встречающиеся в анализе функции разлагаются в степенные ряды.Links to this note
Дмитрий Сергеевич Кулябов
Профессор кафедры прикладной информатики и теории вероятностей
Мои научные интересы включают физику, администрирование Unix и сетей.
В.
И. Арнольд, Об обучении математике В.И. Арнольд, Об обучении математикеМатематика является частью физики. Физика — экспериментальная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, где эксперименты обходятся дешево.
Тождество Якоби (которое заставляет высоты треугольника пересекаться на одной точка) является экспериментальным фактом, таким же, как то, что Земля круглая. (то есть гомеоморфны шару). Но его можно обнаружить с меньшими затратами. расход.
В середине ХХ века была предпринята попытка разделить физику
и математика. Последствия оказались катастрофическими.
Целые поколения математиков выросли, не зная и половины
своей науки и, конечно же,
при полном незнании каких-либо других наук. Сначала они начали преподавать
свою уродливую схоластическую псевдоматематику своим ученикам,
школьников (забывая предупреждение Харди о том, что у уродливой математики нет
постоянное место под солнцем).
Поскольку схоластическая математика, оторванная от физики, не годится ни ни для обучения, ни для применения в какой-либо другой науке, в результате всеобщая ненависть к математикам — как со стороны бедняков школьники (некоторые из которых тем временем стали министрами) и пользователей.
Уродливое здание, построенное малообразованными математиками которые были измучены их комплекса неполноценности и не сумевших свыкнуться с физике, напоминает строгую аксиоматическую теорию нечетных чисел. Очевидно, что создать такую теорию и заставить школьников восхищаться можно. совершенство и внутреннюю согласованность получаемой структуры (в которой, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа факторов определены). С этой сектантской точки зрения даже цифры могли быть либо объявлены ересью, либо со временем введено в теорию дополнены несколькими «идеальными» объектами (чтобы соблюсти потребности физики и реального мира).
К сожалению, это была уродливая извращенная конструкция математики, подобная
тот, который преобладал в преподавании математики на протяжении десятилетий.
На вопрос «что такое 2+3″ француз ученик начальных классов ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, что сумма была равна и даже не мог понять о чем его спрашивают!
Другой французский ученик (вполне рациональный, на мой взгляд) определял математику как следует: «есть квадрат, но это еще нужно доказать».
Судя по моему преподавательскому опыту во Франции, представление студентов университета о математике (даже из тех, кто преподавал математику в École Normale Supérieure — мне больше всего жалко этих явно интеллигентных но уродливые дети) так же беден, как и у этого ученика.
Например, эти студенты никогда не видели параболоид и вопрос о
форма поверхности задается уравнением xy = z 2 ставит
математиков, обучающихся в ENS, в ступор.
Рисование кривой, заданной
параметрические уравнения (типа x = t 3 — 3t, y = t 4 —
2т 2 ) на самолете есть
совершенно неразрешимая задача для студентов (а, может быть, и для
большинство французских профессоров математики).
Начиная с первого учебника л’Опиталя по математическому анализу («Исчисление для понимание кривых линий») и примерно до учебника Гурса, способность решать такие задачи считалась (наряду с знание таблицы умножения) необходимая часть ремесла каждого математик.
Умственно отсталые ревнители «абстрактной математики» бросили все геометрия (через которую связь с физикой и реальностью чаще всего имеет место в математике) вне преподавания. Учебники по математическому анализу Гурса, Эрмита, Пикара недавно были выброшены на свалку. студенческая библиотека университетов Париж 6 и 7 (Жюссье) как устаревшая и, следовательно, вредные (их спасло только мое вмешательство).
Студенты ENS, прошедшие курсы по дифференциальным и алгебраическим
геометрия (читается уважаемыми математиками) оказалась незнакомой ни
с римановой поверхностью эллиптической кривой y 2 = х 3 + ax + b ни, собственно, с топологической классификацией поверхностей
(не говоря уже об эллиптических интегралах первого рода и группе
свойство эллиптической кривой, состоящее в том, что
есть теорема сложения Эйлера-Абеля).
Их учили только Ходжа
структуры и многообразия Якоби!
Как такое могло случиться во Франции, подарившей миру Лагранжа и Лапласа, Коши и Пуанкаре, Лерэ и Том? Мне кажется разумным объяснение дал И.Г. Петровский, который научил меня в 1966: настоящие математики делают не группируются, но слабым нужны банды, чтобы выжить. Они могут объединиться на различных мотивах (это может быть сверхабстрактность, антисемитизм или «прикладные и производственные» проблемы), но суть всегда в решении социальной проблемы — выживание в условиях более грамотного окрестности.
Кстати, напомню предупреждение Л. Пастера: никогда не никаких «прикладных наук» не было и не будет, есть только приложений наук (весьма полезные!).
Я тогда с некоторым сомнением относился к словам Петровского, а теперь
Я все больше и больше убеждаюсь в том, насколько он был прав. Значительная часть
сверхабстрактная деятельность сводится просто к индустриализации бессовестных
захват открытий у первооткрывателей, а затем систематическое присвоение
их эпигонам-генерализаторам.
Аналогично тому, что Америка не
носят имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются
имена их первооткрывателей.
Во избежание неправильного цитирования, я должен отметить, что мои собственные достижения по какой-то неизвестной причине никогда не были экспроприированы таким образом, хотя это всегда случилось с обоими моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и мои ученики. Профессор М. Берри однажды сформулировал следующие два принципа:
Принцип Арнольда. Если понятие носит личное имя, тогда это имя не имя первооткрывателя.
Принцип Берри. Принцип Арнольда применим сам к себе.
Вернемся, однако, к преподаванию математики во Франции.
Когда я был студентом первого курса механико-математического факультета
МГУ лекции по математическому анализу читал
теоретико-множественный тополог Л.А. Тумаркин, добросовестно пересказавший старые
курс классического исчисления французского типа в версии Гурса.
Он сказал нам, что
интегралы рациональных функций по алгебраической кривой
можно взять, если соответствующее риманово
поверхность есть сфера и, вообще говоря, не может быть взята, если ее род
выше, а для сферичности
достаточно иметь достаточно большое количество двойных
точек на кривой заданной степени (что заставляет кривую
быть уникурсальным: его реальные точки можно нарисовать на
проективной плоскости одним росчерком пера).
Эти факты настолько захватывают воображение, что (даже приведенные без всякого
доказательства) они дают лучшее и более правильное представление о современной математике, чем
целые тома трактата Бурбаки. Действительно, здесь мы узнаем о
существование чудесной связи между вещами, которые кажутся полностью
отличается: с одной стороны, существованием явного выражения для
интегралы и топология
соответствующей римановой поверхности и, с другой стороны, между
число двойных точек и род соответствующей римановой поверхности, которые
также проявляет себя в реальной области как универсальность.
Якоби отметил, как наиболее увлекательное свойство математики, что в ней и одна и та же функция контролирует оба представления целого число как сумму четырех квадратов и реальное движение маятника.
Эти открытия связей между разнородными математических объектов можно сравнить с открытием связи между электричество и магнетизм в физике или с открытием сходства между восточным побережьем Америки и западным побережьем Африки в геологии.
Эмоциональное значение таких открытий для обучения трудно оценить. переоценивать. Именно они учат нас искать и находить такие чудесные явления гармонии Вселенной.
Дегеометризация математического образования и отрыв от физики разорвать эти связи. Например, не только студенты, но и современные алгебро-геометры в целом не знают о факте Якоби упоминается здесь: эллиптический интеграл первого рода выражает время движения по эллиптическая фазовая кривая в соответствующей гамильтоновой системе.
Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что
гипоциклоида неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов.
Но
преподавать идеалы студентам, которые никогда не видели гипоциклоиды,
нелепый
как обучение сложению дробей детей, которые никогда не сокращали (по крайней мере,
мысленно) торт или яблоко на равные части. Неудивительно, что
дети предпочтут
чтобы добавить числитель к числителю и знаменатель к знаменателю.
От моих французских друзей я слышал, что тенденция к сверхабстрактному обобщения — их традиционная национальная черта. я не совсем не согласен, что это может быть, речь идет о наследственном заболевании, но я хотел бы подчеркнуть тот факт, что я позаимствовал пример с пирогом и яблоком у Пуанкаре.
Схема построения математической теории и есть
то же самое
в любой другой естественной науке. Сначала мы рассматриваем некоторые объекты и делаем некоторые
наблюдения в особых случаях. Затем мы пытаемся найти пределы
приложение
наших наблюдений, искать контрпримеры, которые помешали бы
неоправданный
расширение наших наблюдений на слишком широкий круг событий
(пример:
количество разделов последовательных нечетных чисел 1, 3, 5,
7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых дает
последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но затем идет 29).
В результате мы формулируем сделанное нами эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре) как можно яснее. После этого наступает трудный период проверки надежности являются выводы.
К этому моменту в математике была разработана специальная техника. Этот прием в применении к реальному миру иногда бывает полезен, но может иногда также приводят к самообману. Эта техника называется моделированием. При построении модели делается следующая идеализация: определенные факты, которые известны только с определенной долей вероятности или с определенной степени точности, считаются «абсолютно» правильны и принимаются как «аксиомы». Смысл этой «абсолютности» именно в том, что мы позволяем себе пользоваться этими «фактами» по правилам формальной логики, при этом объявляя «теоремами» все, что мы можем вывести из них.
Очевидно, что ни в какой реальной деятельности невозможно полностью
полагаться на такие выводы. Причина хотя бы в том, что параметры
изученных
явления никогда не известны абсолютно точно и небольшое изменение параметров
(например, начальные условия процесса) могут полностью изменить
результат.
Скажем, по этой причине надежный долгосрочный прогноз погоды
невозможно и останется невозможным, сколько бы мы ни развивали
компьютеры и устройства, регистрирующие начальные условия.
Точно так же небольшое изменение в аксиомах (о которых мы не можем совершенно уверен) способен, вообще говоря, привести к совершенно выводы, отличные от тех, которые получаются из теорем, выводится из принятых аксиом. Чем длиннее и изящнее цепочка выводов («доказательств»), тем менее надежен конечный результат.
Сложные модели редко бывают полезны (если только те, кто пишет свои диссертации).
Математическая техника моделирования состоит в игнорировании этой проблемы и говоря о своей дедуктивной модели так, как будто она совпала с реальностью. Тот факт, что этот путь, заведомо неверный с точки зрения естествознания, часто приводит к полезным результатам в физике. назвал «невообразимой эффективностью математики в естественных науках». (или «принцип Вигнера»).
Здесь можно добавить замечание И.
М. Гельфанда: существует еще
другое явление, сравнимое по своей немыслимости с
невероятная эффективность
математики в физике, отмеченной Вигнером, — это в равной степени
немыслимая неэффективность математики в биологии.
«Тонкий яд математического образования» (по выражению Ф. Клейна) для
физики состоит именно в том, что
абсолютизированная модель отделяется от
реальность и уже не сравнивается с ней. Вот простой пример:
математика
учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt = x однозначно
определяется начальными условиями (т. е. соответствующим интегралом
кривые в (t,x)-плоскости не пересекаются).
Этот вывод
математическая модель имеет мало отношения к реальности. Компьютер
Эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на
отрицательная полуось t. Действительно, скажем, кривые с начальным
условия x(0) = 0 и x(0) = 1 практически пересекаются при t = -10 и
при t = -100 вы не можете вместить атом между ними. Свойства пространства при таких малых
расстояния вообще не описываются евклидовой геометрией.
Применение
теорема единственности в этой ситуации явно превосходит точность
модель. Это необходимо учитывать при практическом применении модели.
иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.
Замечу, однако, что та же теорема единственности объясняет, почему завершающий этап швартовки судна к причалу осуществляется вручную: на рулевом управлении, если бы скорость подхода была определена как гладкая (линейная) функция расстояния, процесс швартовки будет потребовалось бесконечно много времени. Альтернатива – воздействие с причалом (демпфируемым подходящими неидеально упругими телами). Посредством Кстати, с этой проблемой пришлось серьезно столкнуться при посадке первого спускаемых аппаратов на Луну и Марс, а также на стыковку с космосом станции — тут против нас работает теорема единственности.
К сожалению, ни такие примеры, ни обсуждение опасности
Теоремы фетишизации можно встретить в современных математических учебниках, даже в
лучшие. У меня даже сложилось впечатление, что схоластические математики
(кто мало знаком с физикой) верят в принципиальную разницу
принадлежащий
аксиоматическая математика из моделирования, которое распространено в естествознании и
что всегда требует последующего контроля выводов экспериментом.
Не говоря уже об относительности исходных аксиом, нельзя забыть о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в форма поломки компьютера, вызванная космическими лучами или квантовыми колебания). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего на примерах), то через каких-нибудь десять страниц половина всего знаки в формулах будут неверными и двойки найдут дорогу из знаменателей в числители.
Технология борьбы с такими ошибками – это тот же внешний контроль путем эксперименты или наблюдения, как и в любой экспериментальной науке, и это должно быть учат с самого начала всех младших школьников.
Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к
отказ от схемы, используемой в физике
(наблюдение — модель — исследование модели —
выводы — проверка наблюдениями) и его подстановка по схеме:
определение — теорема — доказательство. Немотивированного понять невозможно.
определения, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов.
Например, они без труда определили бы произведение натуральных чисел
с помощью правила длинного умножения.
При этом коммутативность умножения становится трудно проверить.
доказать, но все еще возможно вывести его как теорему из аксиом.
Тогда можно заставить бедных студентов выучить эту теорему и ее доказательство.
(с целью повышения авторитета как науки, так и
лица, обучающие этому). Очевидно, что такие определения и
такие доказательства могут только навредить обучению и практической работе.
Понять коммутативность умножения можно только на подсчет и пересчет солдат по чинам и шеренгам или путем подсчета площадь прямоугольника двумя способами. Любая попытка обойтись без этого вмешательства физикой и действительностью в математику есть сектантство и изоляционизм, которые разрушить образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах все здравомыслящие люди.
Открою еще несколько таких секретов (в интересах бедных студентов).
Определитель матрицы представляет собой (ориентированный) объем матрицы.
параллелепипед, ребра которого являются его столбцами. Если учащимся сказать об этом
секрет (который тщательно спрятан в очищенном алгебраическом образовании),
тогда вся теория детерминантов становится ясной главой
теория полилинейных форм. Если определители определены иначе, то
любой здравомыслящий человек будет вечно ненавидеть все детерминанты, якобианцев и
теорема о неявной функции.
Что такое группа ? Алгебраисты учат, что это якобы множество с две операции, которые удовлетворяют множеству легко забываемых аксиом. Этот определение вызывает закономерный протест: зачем здравомыслящему человеку такие пары операций? «О, будь проклята эта математика» — заключает студент (который, возможно, станет министром науки в будущее).
Мы получим совершенно другую ситуацию, если начнем не с группы.
но с понятием преобразования (однозначное отображение множества
на себя)
как это было исторически. Совокупность преобразований множества
называется группой, если наряду с любыми двумя преобразованиями она содержит результат
их последовательного применения и обратного преобразования
вместе с каждым преобразованием.
Вот и все определения. Так называемые «аксиомы» на самом деле всего (очевидных) свойств групп преобразований. Какие аксиоматизаторы называть «абстрактными группами» — это всего лишь группы преобразований различных множеств рассматриваются с точностью до изоморфизмов (которые являются взаимно однозначными отображениями сохранение операций). Как доказал Кейли, нет «более абстрактных» группы в мире. Так почему же алгебраисты продолжают мучить студентов с абстрактным определением?
Кстати, в 1960-е годы я преподавал в Москве теорию групп. школьников . Избегая всей аксиоматики и оставаясь как можно ближе
возможной физике, за полгода я добрался до теоремы Абеля о
неразрешимость общего уравнения пятой степени в радикалах (имеющего
попутно учили школьников комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным
группы и группы монодромии алгебраических функций). Этот курс был позже
издано одним из слушателей, В. Алексеевым, как книга Теорема Абеля в задачах .
Что такое гладкий коллектор ? В недавней американской книге я прочитал, что Пуанкаре не был знаком с этим (представлено им самим) понятие и что «современное» определение было дано Вебленом только в конце 1920-х годов: многообразие — это топологическое пространство, удовлетворяющее длинному ряду аксиом.
За какие грехи студенты должны пытаться найти выход из всех этих поворотов и повороты? На самом деле, в анализе Пуанкаре Location есть абсолютно четкое определение гладкого многообразия, которое гораздо полезнее, чем «абстрактный».
Гладкое k-мерное подмногообразие евклидова пространства R N это его
подмножество, которое в окрестности каждой своей точки является графом гладкой
преобразование R k в R (N — k) (где R k и R (N — k) координаты
подпространства). Это прямое обобщение большинства
обыкновенный гладкий
кривых на плоскости (скажем, круга x 2 + y 2 = 1)
или кривые и поверхности в трехмерном пространстве.
Между гладкими многообразиями естественным образом определяются гладкие отображения. Диффеоморфизмы — это отображения, которые являются гладкими вместе со своими обратными.
«Абстрактное» гладкое многообразие — это гладкое подмногообразие евклидова пространства. рассматривается с точностью до диффеоморфизма. Нет «более абстрактных» конечномерные гладкие многообразия в мире (теорема Уитни). Почему мы продолжаем мучать студентов абстрактным определением? Не лучше ли было бы доказать их теорема о явной классификации замкнутых двумерных многообразия (поверхности)?
Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что любое компактное
связная ориентированная поверхность представляет собой сферу с множеством ручек), что дает
правильное представление о том, что такое современная математика, а не
сверхабстрактный
обобщения наивных подмногообразий евклидова пространства, которые на самом деле
не дают ничего нового и преподносятся как достижения
аксиоматизаторы.
Теорема классификации поверхностей — первоклассная математическая достижение, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это подлинное открытие математического естествознания и является даже сложно сказать относится ли сам факт больше к физике или к математике. В его значение как для приложений, так и для разработки правильных Weltanschauung намного превосходит такие «достижения» математика как доказательство последней теоремы Ферма или доказательство факта что любое достаточно большое целое число можно представить в виде суммы трех простые числа.
Ради рекламы современные математики иногда представлять такие спортивные достижения как последнее слово в своей науке. Понятно, что это не только не способствует пониманию обществом математики но на напротив, вызывает здоровое недоверие к необходимости тратить энергию на (скалолазные) упражнения с этими экзотическими вопросами никому не нужен и не нужен.
Теорема о классификации поверхностей должна была быть включена в высокий
школьные курсы математики (наверное, без пруфов), но почему-то
не входит даже в университетские курсы математики (из которых во Франции,
кстати, вся геометрия была изгнана за последние несколько десятилетий).
Возвращение преподавания математики на всех уровнях от схоластической болтовни к представлению важной области естествознание — особенно горячая проблема для Франции. Я был поражен тем, что все лучшее и самое важное в методический подход математические книги здесь почти неизвестны студентам (и, как мне кажется, не переведены на французский язык). Среди них Числа и цифры Радемахера и Тёпица, Геометрия и воображение Гильберта и Кон-Фоссена, Что такое математика? Курант и Роббинс, Как решить и Математика и правдоподобные рассуждения Поля, Развитие математика в 19 веке Ф. Кляйн.
Я хорошо помню, какое сильное впечатление произвел курс исчисления Эрмита. (который есть в русском переводе!) сделанный на меня в школьные годы.
В ней появились римановы поверхности, кажется, в одной из первых лекций (все
анализ был, конечно, комплексный, как и должно быть). Асимптотика
интегралы исследовались с помощью траекторных деформаций на римановых
поверхности при движении точек ветвления (сегодня мы назвали бы
это теория Пикара-Лефшеца; Пикард, между прочим, принадлежал Эрмиту.
зять — математические способности часто передаются
зятья: династия Адамара – П. Леви – Л. Шварц – У. Фриш – это
еще один известный пример в Парижской академии наук).
«Устаревший» курс Эрмита столетней давности (вероятно, сейчас выброшены из студенческих библиотек французских университетов) был намного современнее тех самых занудных исчислений учебники, с которыми нынче мучают школьников.
Если математики не одумаются, затем потребители, которые сохранили потребность в современном, в лучшем смысле этого слова, математическая теория, а также как иммунитет (свойственный любому здравомыслящий человек) к бесполезной аксиоматической болтовне в конце концов откажется от услуг малообразованных схоластов как в школах, так и в университетах.
Учитель математики, не разобравшийся хотя бы с некоторыми томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда реликт, как тот, что в наши дни, кто не знает разницы между открытым и закрытым множеством.
В.И. Арнольд
Перевод А.
2$ — очевидно, это было слишком круто, чтобы сопротивляться. Судя по всему, Пуанкаре был фактически рецензентом статьи Эйнштейна по специальной теории относительности примерно десятилетие спустя и рекомендовал ее для принятия, и когда люди спросили его, почему, учитывая, что он некоторое время знаком с материалом, он ответил, что это кажется быть ярким молодым парнем, и таких надо поощрять. Я не уверен, где это записано (я слышал это от Арнольда лично). Может быть, кто-то здесь знает реальные факты.
$\endgroup$
8
$\begingroup$
Кантор доказал, что для любых двух счетных плотных подмножеств вещественной прямой существует гомеморфизм вещественных чисел в действительные числа, отображающий одно счетное множество в другое. Может ли гомеоморфизм быть аналитическим? На этот вопрос периодически (примерно каждые двадцать лет) давался ответ с тех пор, как был опубликован результат Кантора.
Однако при просмотре оригинальной статьи Кантора становится ясно, что следующая статья в журнале написана студентом, распространяющим теорему Кантора на аналитические функции. 9) изначально не знал об оригинальной работе Чеботарева (см. Этот обзор Стивенхагена и Ленстры для некоторых связанных дискуссий). Краткое доказательство также было дано Френкелем, который решил его на математическом конкурсе 1998 года как вопрос, заданный Андрасом Биро. В литературе вполне могут быть и другие доказательства. (Но, по крайней мере, согласно Википедии, эта теорема по-прежнему приписывается в первую очередь (и правильно) Чеботареву, хотя можно с уверенностью сказать, что это не самая известная его теорема.)
$\endgroup$
$\begingroup$
Я не уверен, что это соответствует требованиям ОП, но в связи с ответом Райана Бадни, получившим наибольшее количество голосов, относительно повторного открытия метода трапеций, позвольте мне напомнить, что Гротендик провел около трех лет, работая изолированно во французских провинциях, разрабатывая теорию интеграции Лебега.
Не раньше, чем он отправился в Париж, ему сказали, что кто-то уже сделал это.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Возможно, это крайний случай. Я не помню, была ли это шутка или нет, но я помню, как получил по электронной почте объявление о том, что кто-то недавно изобрел метод трапеций для аппроксимации интегралов Римана.
Вот страница в Википедии о статье/ полемике: http://en.wikipedia.org/wiki/Tai%27s_method
$\endgroup$
15
$\begingroup$
Я наткнулся на следующий (для меня поразительный) пример в техно-триллере Роберта Кроми 1895 года The Crack of Doom (перепечатан в The End of the World: Classic Tales of Apocalyptic Science Fiction , Michael Kelehan, ed.
)
Стр. 102: «Если вы обратитесь к обычному учебнику по физике эфира, вы обнаружите, что одна крупица материи, будучи эфирной, содержит достаточно энергии, чтобы поднять сто тысяч тонн почти на две мили». 92/2$.
Эйнштейну было 16 лет, когда вышла книга Кроми (опубликованная европейским издательством)… очень впечатлительный возраст, что и говорить. Тем не менее, несмотря на подсказку, которую Кроуми так щедро предоставил любителям научной фантастики в Европе, прошло десять лет, прежде чем Эйнштейн правильно вычислил множитель двойки.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
В своей монографии (Д.В. Аносов: Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях с отрицательными кривизна, Труды ИСАН 90 (1967) АМС 1969), Аносов пишет: «Примерно каждые пять лет, если не чаще, кто-нибудь «открывает» теорему Адамара и Перрона, доказывая ее либо методом Адамара, либо методом Перрона.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Алгоритм БПФ Кули-Тьюки (1965 г.) уже был известен Гауссу (ок. 1805 г.).
Возможно, с небольшой натяжкой, но зато временной разрыв весьма внушителен.
Детали напр. http://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform (в разделе «Алгоритмы»)
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Часто это происходит, когда математик не признает стоящую перед ним задачу (задачи) проблемой, уже изученной в другой отрасли. Это произошло со мной следующим образом. При изучении задачи Римана для уравнений Эйлера сжимаемого газа, подчиняющегося уравнению состояния Чаплыгина, я столкнулся со следующим уравнением $${\rm div}\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}+\frac{2}{u\sqrt{1+|\nabla u|^2} }=0.
Два года спустя Лихе Ван указал мне, что такие решения описывают полные минимальные поверхности в 3D-гиперболическом пространстве. Таким образом, результат первоначально принадлежит М. Андерсону (Inventiones Math. 1982). Граничная регулярность, которую я оставил открытой, на самом деле была доказана Фан Хуа Линем (Inventiones Math. 1989).
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Я думаю, что количество примеров составляет примерно половину количества опубликованных теорем, так что это действительно может быть очень длинный список. Но это не помешает мне внести свой вклад или два.
Теорема Коши-Дэвенпорта. Гарольд Давенпорт опубликовал его в 1935 году. Затем, в 1947 году, он написал статью, в которой отметил, что Коши опубликовал тот же результат в 1813 году.
Давенпорт, Х. О добавлении классов вычетов, Журнал Лондонского математического общества , том 10, 1935, стр. 30–32. doi:10.1112/jlms/s1-10.37.30
Давенпорт, Х., Историческая справка , Журнал Лондонского математического общества, 22, (1947) 100–101. doi: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-22.2.100
(ссылки взяты у Пола Балистера и Джеффри Пола Уилера, Теорема Коши-Дэвенпорта для конечных групп , архив: 1202.1816).
Примечание. Последний документ является совместной работой Балистера и Уиллера согласно scribd, но в версии на arXiv Уилер указан как единственный автор.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
В 1983 году по просьбе рецензента я добавил к своей статье доказательство того, что (при определенных гипотезах, которые не должны нас здесь останавливать) некоторая норма может быть задана как некоторая равнодействующая.
Что за черт. Это хороший результат, и его не так уж сложно описать. Пусть $A$ — коммутативное кольцо с единицей. Пусть $f$ и $g$ лежат в $A[x]$, причем $f$ унитарный. Пусть $B=A[x]/(f)$. Тогда результат $f$ и $g$ равен норме из $B$ в $A$ класса $g$ в $B$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Это может не учитываться строго, потому что время между независимо полученными результатами, возможно, было небольшим, но значимость результата делает этот пример интересным, и два заинтересованных работника определенно не знали о результате друг друга.
Парадокс Рассела был известен Кантору независимо от объявления Расселом результатов и, весьма вероятно, за несколько лет до того, как Рассел наткнулся на него.
«…Если мы начнем с понятия определенной множественности (системы, тотальности) вещей, необходимо, как я обнаружил, различать два вида множественностей (под этим я подразумеваю определенные множественности).0005
Ибо множественность может быть такой, что предположение, что все ее элементы «вместе», приводит к противоречию, так что множественность нельзя мыслить как единство, как «одну законченную вещь». Такие множества я называю абсолютно бесконечными или несовместимыми множествами.
Как мы легко видим, «совокупность всего мыслимого», например, является такой множественностью…»
Кантор знал, что если применить канторов аргумент косой черты к множеству всех множеств, возникнет противоречие. В этом письме он показывает, что осознавал противоречие, присущее концепции этого «множественности как единства, как одной законченной вещи», и парадокс Рассела в словах, которые использовал Рассел, был также обнаружен Расселом, когда он искал изъян в аргументе с косой чертой Кантора и применил его к множеству всех множеств или к «совокупности всего мыслимого».
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Закон Бенфорда … назван так не потому, что Бенфорд был первым, кто опубликовал его, а просто потому, что Бенфорд был первым, кто опубликовал его в физическом журнале.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
«Об обучении математике» В.И. Арнольд:
Профессор М. Берри однажды сформулировал следующие два принципа:Принцип Арнольда. Если понятие носит личное имя, то это имя не есть имя первооткрывателя.
Принцип Берри. Принцип Арнольда применим сам к себе.
(Ситуация аналогична закону Хофштадтера: Это всегда занимает больше времени, чем вы ожидаете, даже если принять во внимание закон Хофштадтера.
Также интересно, как принцип Арнольда может быть применен к произведениям Арнольда.
1) Проблема Арнольда (задача 1993-11 из «Проблем Арнольда» Springer, 2005) о статистических свойствах конечной цепной дроби была по существу решена Локсом в 1961 г. (за 32 года до гипотезы Арнольда, см. «Statistik der Teilnenner der zu den echten»). Brüchen gehörigen regelmässigen Kettenbrüche», Monatsh. Math., 1961, 65, 27-52).
2) Его вопрос о слабой асимптотике для чисел Фробениуса (задача 1999-8 из «Проблем Арнольда» Springer, 2005) был задан ранее Дэвисоном (всего по трем аргументам, но по сути вопрос тот же, см. линейная диофантова задача Фробениуса», J. Теория чисел, 1994, 48, 353-363)
3) В статье «Геометрия цепных дробей, связанных с числами Фробениуса» (Funct. Anal. Other Math., 2009, 2, 129-138) он почти заново открыл формулу Родсета для чисел Фробениуса .
4) Его «Гипотеза Салфетки» (см. Открыта ли «Гипотеза Салфетки»? (оригами)) была решена (см.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Есть статья Крускала под названием «Теория хорошего квазиупорядочения: часто открываемая концепция».
$\endgroup$
$\begingroup$
Неприводимые представления $GL_n$.
Их открытие обычно приписывают Шуру в его диссертации 1901 года. Однако их можно найти в «Essai d’une théorie générale des formes algebriques» Деруйтса 1891 года. На самом деле, они даже старше, поскольку их также можно найти в статье Клебша «Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie» 1872 года в очень известном журнале. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften в Геттингене. Достаточно современный отчет о вкладе Клебша содержится в статье Литтлвуда «Теория инвариантов, тензоры и групповые характеры».
$\endgroup$
$\begingroup$
Большая часть внутренностей фильтра Калмана — рекурсивного алгоритма оценки функции плотности вероятности для скрытых состояний неизвестного марковского процесса — была известна Гауссу и использовалась последним для упрощения ручных вычислений, необходимых для нахождения оптимальных оценок планетарных орбиты по астрономическим наблюдениям.
Суть фильтра Калмана заключается в том, что при поступлении каждого нового измерения параметры (предполагаемой) гауссовской PDF обновляются с помощью простых рекуррентных соотношений, использующих прежние оценки этих параметров и только новое наблюдение . Вам не нужно возвращаться и получать все старые данные наблюдений и делать оценку максимального правдоподобия из недавно дополненного полного набора данных с нуля.
Кальман не знал о работах Гаусса, и действительно, его метод доказательства был совершенно иным и более общим, так что это не может полностью считаться повторным выводом старого результата, но тем не менее ключевые идеи открываются заново автором, не знающим своего интеллектуального предшественники.
См. эту экспозицию.
$\endgroup$
$\begingroup$
Две цитаты со страницы MacTutor History об уравнении Пелла:
…первый вклад Брахмагупты был сделан примерно за 1000 лет до времени Пелла…
и
Блестящие идеи Брахмагупты, Бхаскары II и Нараяны были совершенно неизвестны европейским математикам XVII века.
$\endgroup$
$\begingroup$
В голоморфной динамике есть примеры рациональных отображений на сфере Римана, имеющих только отталкивающие циклы (т. е. чье множество Фату пусто), и класс таких примеров связан с эллиптическими функциями. Этот класс называется «примерами Латта», потому что в 1918 году Сэмюэл Латтс построил $f$, удовлетворяющий $\mathcal{P}(2z)=f(\mathcal{P}(z))$, где $ \mathcal{P}$ — эллиптическая функция Вейерштрасса, происходящая из некоторой решетки в $\mathbb{C}^2$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
С этим связана проблема одновременности. Лучшим примером этого, который я помню, является независимое открытие Фридбергом и Мучником решений проблемы Поста (двух наборов целых чисел, ни одно из которых не вычислялось из другого, то есть пара несравнимых и не очень сложных степеней Тьюринга ниже 0′, степень Тьюринга проблемы остановки).
Два личных примера — это заметка о размере минимального контрпримера к гипотезе Франкла о замкнутом союзе, которую я показал своему консультанту, а затем более года спустя нашел ее опубликованной Джованни ЛоФаро. Он никогда не говорил мне прямо, но я подозреваю, что мой советник думал, что Рон Грэм доказал и не опубликовал подобную нижнюю границу (с учетом некоторых ограничений минимальный пример для вселенной из n элементов должен иметь по крайней мере 4n — 1 наборов в семействе) . В следующем году я придумал основу из пяти уравнений для эквациональной теории, которая, как было показано, конечно базируется на основе не более чем X уравнений (я забыл значение X, но имел что-то вроде 5 или 6 десятичных цифр). Либор Полак нашел ту же основу и в своей статье «О гиперассоциативности» любезно признал мое независимое открытие, которое произошло в течение месяца после него.
Подобные опыты подтверждают идею «Если бы Гаусс не знал этого, то Эйлер знал, иначе об этом не стоило знать. $\endgroup$
1
$\begingroup$
Существует теорема Гильберта-Берча, которая дает структуру идеалов Коэна-Маколея проективной размерности один в регулярном или полиномиальном кольце. Названные авторы опубликовали свои результаты с разницей примерно в 80 лет. Эйзенбуд писал (стр. 506 своей книги «Коммутативная алгебра…»), что «многие люди открыли ее для себя (и многие опубликовали ее) за прошедшие годы».
Эта теорема весьма полезна во многих контекстах алгебры и геометрии. Фактически, вы можете найти хороший исторический отчет в конце главы 8 «Теории деформации» Хартсхорна, который применяет ее для изучения деформаций подсхем Коэна-Маколея коразмерности два.
$\endgroup$
$\begingroup$
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта . Доказано независимо Гарретом Биркгофом и Эрнстом Виттом в 1937 году и в последующие годы не приписано либо одному, либо обоим, либо ни одному из них (и даже Хариш-Чандре, который дал другое доказательство). Затем, в 1950-х годов некоторые авторы, кажется, заранее изобрели высказывание Этьена Гиса, цитируемое Роланом Бахером на этой странице (тем самым приводя еще один пример, хотя и на метауровне), и начали приписывать его и Пуанкаре. — По-видимому, существуют разные мнения о том, дал ли Пуанкаре в своей статье, датируемой 1900 годом, «полное» доказательство. Еще много подробностей можно найти в: Т. Тон-Тот, Т.-Д. Тран: доказательство Пуанкаре так называемой теоремы Биркгофа-Витта, Rev. Histoire Math., 5 (1999), стр. 249–284. Редактировать : Уже есть страница МО о предполагаемом доказательстве Пуанкаре.
Другой пример — классификация кодоменов эпиморфизмов из $\mathbb{Z}$ — был содержанием моего ответа здесь.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Параллелограмм сил часто приписывают Вариньону. Он уже был обнаружен Стевином примерно столетием ранее.
$\endgroup$
$\begingroup$
Однажды я услышал от специалиста по динамическим системам, что критерий Гурвица (который помогает определить, имеют ли все собственные значения матрицы отрицательную действительную часть, см., например, http://en.wikipedia.org/wiki/Routh%E2%80 %93Hurwitz_stability_criterion), который регулярно переоткрывался инженерами, которым он был нужен для проверки устойчивости нуля векторного поля в евклидовом пространстве (необходимо линеаризовать поле вблизи фиксированной точки и применить теорему устойчивости Ляпунова, см.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Вот очень хороший пример. Аннотация к статье Р. Брюса Рихтера, Брендана Руни и Карстена Томассена «О планарности компактных локально связных метрических пространств» начинается следующим образом.
Независимо, Claytor [Ann. Мат. 35 (1934), 809–835] и Томассен [Combinatorica 24 (2004), 699–718] доказано, что 2-связный компактный локально связное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству сфера тогда и только тогда, когда она не содержит $K_5$ или $K_{3,3}$.
Я подумал, что это довольно остроумный и честный способ описать этот конкретный случай рассматриваемого явления.
$\endgroup$
$\begingroup$ 92 + c,P_0(z)=z,$ (таким образом, почти все корни $$P_n$$ лежат в множестве Джулия). Например, они дают инвариантную меру, и все корневые меры, полученные из производных от $$P_n$$, сходятся к одной и той же мере (последняя часть следует из теоремы Ганса Руллгарда, изложенной в его докторской диссертации).
Однако результат об этих инвариантных мерах доказан в 50-х годах Гансом Бролином (под руководством Ленарта Карлессона).
Моя первая статья была обобщением некоторых недавних результатов (работ) моего научного руководителя по уравнению Шредингера, но оказывается, что полное обобщение, доказанное методом, подобным нашему, было сделано в 30-е годы (длительные до того, как люди узнали/заботились о квантовой механике).
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Семейство $\cal F$ подмножеств конечного множества является $r$-свободным от покрытия , если ни один член $\cal F$ не содержится в объединении $r$ других членов $\cal F $.
$\endgroup$
$\begingroup$
(Не совсем теорема, но интересная задача.) В предыдущем вопросе МО я задавался вопросом:
Для заданного $x_1 \leq \ldots \leq x_{2n + 1}$ с каждым $x_i \in \mathbb{R}$ (или $\mathbb{C}$) предположим, что для любого $x_i$ мы удаляем это остальные числа можно поставить в соответствие непересекающимся мультимножествам $A$ и $B$ таким, что $|A| = |В| (= n)$ и $\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$. Верно ли, что все $x_i$ должны быть равны?
Ответ: да .
Более того, в последующих обновлениях стало ясно, что вопрос уже был решен как:
#15.23 в «Проблемах и теоремах классической теории множеств» (решение на стр. 323-324) Петера Комьята и Вилмоша. Тотик (2006).
АММ 11002 (2003).
Liong-shin Hahn (1992), который уже доказал это на китайском языке как:
Лионг-Шин Хан (1981).
Я сам виноват в этом».
2$. Это я сделал в Многомерное ударное взаимодействие для газа Чаплыгина. Арх. Рациональный мех. Анал., 191 (2009), стр. 539–577.
, 1813, стр. 99–123. (Gallica)
С тех пор я обнаружил, что та же самая теорема уже была опубликована (по крайней мере) полдюжиной авторов, начиная с Чеботарева в 19 г.36, ни один из них не цитирует кого-либо из своих предшественников.
См. Жан ван Хейеноорт, «От Фреге до Геделя: справочник по математической логике, 1879–1931» (1967) на стр. 114, где воспроизведено письмо Кантора Дедекинду. Кантор пишет Дедекинду в 1899 году, за два года до того, как Рассел объявил о своем парадоксе:
См. статью в Википедии об истории взглядов Рассела на вещи.
)
ответ Андрея Рекало) в 1797 году, в японской книге оригами «Сэнбазуру Ориката».
Считалось, что это первый подобный пример. Однако пример, основанный на эллиптической функции Якоби, появился в 189 г.8 в докторской диссертации Люциана Эмиля Ботчера, Beitr\»age zu der Theorie der Iterationsrechnung, опубликованной Освальдом Шмидтом, Лейпциг, стр. 78, и еще одна была дана в его статье на польском языке, Zasady rachunku iterationjnego (cz \c e\’s\’c pierwsza i cz\c e\’s\’c othera) [Принципы итерационного исчисления (часть первая и вторая)], {\it Prace Matematyczno — Fizyczne}, vol. Х (1899 — 1900), стр. 65 — 86, 86-101.
Возможно, кто-то сможет подтвердить/опровергнуть идею о том, что на момент обнаружения им обоим было меньше 20 лет.
Среди моих однокурсников-аспирантов были и другие примеры, как минимум один из которых привел к смене темы диссертации.
{n-k}.$$
Позже я узнал, что М.-П. Шютценбергер доказал это уже в CR Acad. науч. Париж 236 (1953), 352-353. Кажется, этот факт неоднократно открывался заново. Кто-то (забыл, кто это был) утверждал, что этот результат уже был у Эйлера.
2$.
