Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ | ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ | ΠΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ | Π’Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ |
---|---|---|---|
|
|
|
|
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ Π½Π° Forex: ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-Π²Π°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ Π²Π°Π»ΡΡ
ΠΠΎΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ° Π‘Π¨Π β ΠΎΠ½ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π·Π΅ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΠΎΠΉ, Π²Π°Π»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π°ΡΠ΅ΠΆΠ° β ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ΅ Π²Π°Π»ΡΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ Π΅Ρ ΠΊΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ USD. ΠΠΎ Ρ ΡΡΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ² Π½Π΅ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»ΠΊΡ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π°Π»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ: Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΡΠΏΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ»ΠΈΠ½Π³ΠΎΠ² (GBP) Π·Π° ΠΈΠ΅Π½Ρ (JPY). Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ Π²Π°Π»ΡΡ β ΡΡΠΎ Π²Π°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΡ Π‘Π¨Π. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, EUR/GBP, GBP/CHF, AUD/CAD, CHF/JPY.
ΠΡΠ±Π°Ρ Π²Π°Π»ΡΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΊΡΠΏΠ»Π΅Π½Π° Π·Π° Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ. Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΠ±ΡΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π°Π»ΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠΏΠ»ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΈ ΠΊΡΠΏΡΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ Π±Π°Π½ΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΊΠΎΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ, Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ Π‘Π¨Π.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ° EUR/JPY: ΡΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΡΠΏΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ Π·Π° ΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΡΡΡΡ USD/JPY, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΡΠΏΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΡΠΏΠ°Π΅Ρ Π΅Π²ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΡΡΡΡ EUR/USD.
ΠΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ· Π²Π°Π»ΡΡ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π°Π»ΡΡΠ° Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ (Π΅Π²ΡΠΎ, Π±ΡΠΈΡΠ°Π½ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ½Ρ ΠΈ Π΄Ρ.), Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ β Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π²Π°Π»ΡΡΠ° Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Π² ΠΏΠ°ΡΠ΅ (Π΅Π²ΡΠΎ/ΡΡΠ°Π½ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½Ρ/ΠΈΠ΅Π½Π°). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ Π²Π°Π»ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅, ΡΠΎ ΠΈΡ
Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²ΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, EUR/GBP, CHF/JPY).
ΠΡΠ΅ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½ΠΈΠ·ΠΊΡΡ Π»ΠΈΠΊΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π²Π΅Π΄ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ Π²Π°Π»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΡΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»ΠΎΠΊ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΡ EUR/GBP, ΡΡΠΎΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π½Π° Π§ΠΈΠΊΠ°Π³ΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΠΈΡΠΆΠ΅ CME Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΏΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ.
Π Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΡΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡ β ΡΡΠΎ Π²Π°Π»ΡΡΠΎΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π°Π»ΡΡΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· USD. Π Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠΎΠ² Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΡΡΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π²Π°Π»ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΡ.
ΠΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ΠΈΠ½ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ°Ρ
Π‘Π¨Π. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΊΡΠΏΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΡ Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°Π½ΡΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ. Π ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΈΠ½ΠΎΡΡΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΡ. ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΄ΡΡ Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡΡΡ.
1. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠ°Ρ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π΅Π²ΡΠΎ/ΠΈΠ΅Π½Ρ:
EUR/JPY = EUR/USD Γ USD/JPY
2. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠ°Ρ Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΠ°Π½Π°Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ°/ΠΈΠ΅Π½Ρ:
CAD/JPY = USD/CAD Γ· USD/JPY
ΠΡΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΡΡΠ° ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ°, Π½ΠΎ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΈΡΡΡΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π»Π΅ MetaTrader ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π½ΠΎ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠ² ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ°.
ΠΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π»ΠΈ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊΡ
ΠΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π»ΠΈ Π±ΡΠ» Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΏΡΠ΅Π΄, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΎ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ
ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²ΡΡ
ΡΡΡΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΠΏΠΈΠ½Π³ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΡΠ°Π΄ΡΠΉ.
ΠΡΡΠ³Π°Ρ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π»Π΅ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½, Π° ΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅. ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π³ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΊΡΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΡ ΠΎΠ΄, ΠΏΡΠ΅Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ±ΡΠ»Ρ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ²Π»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ Π²Π°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌ, Π·Π° ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠ°ΡΠ΅ EUR/CAD Π½Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½Π΄Π°, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π½Π° Π΅Π²ΡΠΎ ΠΊ Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°Π½ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΡ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°Π½Π°Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠ° ΠΊ Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°Π½ΡΠΊΠΎΠΌΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Ρ
ΠΎΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²
ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² 93$. (ΠΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.)
ΠΠ°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠ° Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅ΡΠ°
Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ : $\vc{i}$ (Π·Π΅Π»Π΅Π½ΡΠΉ), $\vc{j}$ (ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ) ΠΈ $\vc{k}$ (ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ $x$, ΠΎΡΡ $y$ ΠΈ ΠΎΡΡ $z$ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΡΡΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠΈ.
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ± Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅ΡΠ΅.
ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡΡΠΉ Π½Π° Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ°Π²Π΅Π½
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ
Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΡΠ΅ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠΌΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ $\vc{i} \times \vc{k}$? ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ $-\vc{j}$. ΠΠΎΠΌΠ½Ρ, ΡΡΠΎ $\vc{b} \times \vc{a} = — \vc{a} \times \vc{b}$, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{j} \times \vc{i} &= -\vc{k}\\ \vc{k} \times \vc{j} &= -\vc{i}\\ \vc{i} \times \vc{k} &= -\vc{j}. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ($\vc{a} \times \vc{a}=\vc{0}$). Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
ΠΠ±ΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΠ° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ
ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ², ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΡ
Π²ΡΡΠ΅
($\vc{b} \times \vc{a} = -\vc{a} \times \vc{b}$, ΠΈ
$\vc{a} \times \vc{a} = \vc{0}$), ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π±Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅
ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ½ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ:
- $(y\vc{a}) \times \vc{b} = y(\vc{a} \times \vc{b}) = \vc{a} \ΡΠ°Π· (Π³\Π²ΠΊ{Π±})$,
- $\vc{a} \times (\vc{b}+\vc{c}) = \vc{a} \times \vc{b}
+ \vc{a} \times \vc{c}$, 93$ ΠΈ $y$
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. (ΠΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ.) ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ°
ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ: \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} = (a_1,a_2,a_3)= a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j} + a_3 \vc{k}\\ \vc{b} = (b_1,b_2,b_3)= b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j} + b_3 \vc{k} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ $a_3=b_3=0$. (ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅.) Π Π°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ: \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j}) \times (b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j})\\ &= a_1b_1 (\vc{i}\times\vc{i}) + a_1b_2(\vc{i} \times \vc{j}) + a_2b_1 (\vc{j} \times \vc{i}) + a_2b_2 (\vc{j} \times \vc{j}) \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ $\vc{i} \times \vc{i}= \vc{0}= \vc{j} \times \vc{j}$ ΠΈ ΡΡΠΎ $\vc{i} \times \vc{j} = \vc{k} = -\vc{j} \times \vc{i}$, ΡΡΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1b_2-a_2b_1) \vc{k}\\ &= \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} Π°_1 ΠΈ Π°_2\\ Π±_1 ΠΈ Π±_2 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ| \vc{ΠΊ}.
\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π³, ΡΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $a_3$ ΠΈ $b_3$ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Ρ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΉ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅, Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j} + a_3\vc{k}) \times (b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j} + b_3\vc{k})\\ &= a_1b_1 (\vc{i}\times\vc{i}) + a_1b_2(\vc{i} \times \vc{j}) + a_1b_3(\vc{i} \times \vc{k})\\ &\ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΄Π΅ΡΠ½ΡΠΉ + a_2b_1 (\vc{j} \times \vc{i}) + a_2b_2 (\vc{j} \times \vc{j}) + a_2b_3 (\vc{j} \times \vc{k})\\ &\ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΄Π΅ΡΠ½ΡΠΉ + a_3b_1 (\vc{k} \times \vc{i}) + a_3b_2 (\vc{k} \times \vc{j}) + a_3b_3 (\vc{k} \times \vc{k}) \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} \times \vc{b} &= a_1b_2 \vc{k} — a_1b_3 \vc{j} — a_2b_1 \vc{k} + a_2b_3 \vc{i} + a_3b_1 \vc{j} — a_3b_2 \vc{i}\\ «=» (a_2b_3-a_3b_2)\vc{i} — (a_1b_3-a_3b_1) \vc{j} +(a_1b_2-a_2b_1) \vc{k}.
\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} \times \vc{b} &=\left| \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} Π°_2 ΠΈ Π°_3\\ Π±_2 ΠΈ Π±_3 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ| \vc{Ρ} — \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} Π°_1 ΠΈ Π°_3\\ Π±_1 ΠΈ Π±_3 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ| \vc{j} + \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{cc} Π°_1 ΠΈ Π°_2\\ Π±_1 ΠΈ Π±_2 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ| \vc{ΠΊ}. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}
ΠΠ»ΡΠ΄Ρ Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $3 \times 3$, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆ Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ $3 \times 3$ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $\vc{i}$, $\vc{j}$ ΠΈ $\vc{k}$ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΉ (Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π°, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ), $3 ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ \times 3$ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ: \Π½Π°ΡΠ°ΡΡ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ*} \vc{a} \times \vc{b} = \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²}{ccc} \vc{i} & \vc{j} & \vc{k}\\ Π°_1 ΠΈ Π°_2 ΠΈ Π°_3\\ Π±_1 ΠΈ Π±_2 ΠΈ Π±_3 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²} \ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ|.
\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ{Π²ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} ΠΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (x) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΎ Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π²ΡΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ. ΠΠ³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
1. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² 2. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 3. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 4. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 5. ΠΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ° 6. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 7. Π§Π°ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π°. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ»ΠΈ A ΠΈ B ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (Ax B) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Π΅Π½ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ½ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½:
Π Ρ Π = |Π| |Π| sin ΞΈΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ X-Y, ΡΠΎ ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠΈ Z, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ XY . Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Γ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ:
\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}\)
ΠΠ΄Π΅
- \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
- \(\overrightarrow{c}\) β ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{c}\) ΠΈ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \(\ overrightarrow{b}\) ΠΈ \(\overrightarrow{c}\).
9\circ\).Ρ. Π΅. \(\overrightarrow{b}\) ΠΈ \(\overrightarrow{c}\) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
- ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ 0Β°, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
- Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ (ΡΠ³ΠΎΠ» 90Β°), ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π»ΡΠ±ΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overrightarrow{a}\)= \(a_1\hat i+a_2 \hat j+a_3 \hat k\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = \(b_1 \ΡΠ»ΡΠΏΠ° i+b_2 \ΡΠ»ΡΠΏΠ° j+b_3 \ΡΠ»ΡΠΏΠ° k\). ΠΡΡΡΡ ΞΈ β ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\), Π° \(\hat n\) β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π΅ \(\overrightarrow{a }\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\). ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n\)
ΠΠ΄Π΅
- \(\mid \overrightarrow a \mid\ ) β Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{a}\),
- \(\mid \overrightarrow b \mid\) β Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{b}\).
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) — Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ \(\overrightarrow{a}\)= \(a_1\hat i+a_2 \ hat j+a_3 \hat k\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = \(b_1 \hat i+b_2 \hat j+b_3 \hat k\), ΡΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ: j (a_1b_3-a_3b_1)\\+ \hat k (a_1b_2-a_2b_1)\)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: \( \hat i, \hat j, \text{ ΠΈ } \hat k \) β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠΈ x, ΠΎΡΠΈ y ΠΈ ΠΎΡΠΈ z ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ. ΠΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
- ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (\(\overrightarrow{A}\)).
- Π‘ΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overrightarrow{B}\).
- Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΡΡΠΎ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
- ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(= \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta)\).
- ΠΠ½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = — \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}\)
- Π Π°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ: \(\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} )+ (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{Ρ})\)
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}\)
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ: \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\)
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: \(\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) = c\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times c\overrightarrow{b}\)
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²: \(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i} =\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k} = 0\)
- \(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i}\\\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}\)
- \(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{-k}\\ \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{-i}\\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{-j}\)
Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ΅Ρ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ»ΠΈ a, b ΠΈ c β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
\((\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} -(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}) \overrightarrow{a}\)
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ Π½Π°ΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ²Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: ΠΡΠΊΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΡΠ°Π½Π°: ΠΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΊ Π΄Π²ΡΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΌ ΠΊΡΠ°Π½Π°. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ. Π Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΠΎΡ ΠΎΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ.
Ρ. Π΅. \(\overrightarrow{T} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}\)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: Π‘ΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΠ° Π³Π°Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠ»ΡΡΠΎΠΌ: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠ»ΡΡΡ (ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΡΡΠ½ΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ»Π°Π±ΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»Ρ), ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ.
ΠΠ°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
- Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π²ΡΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ.
- ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow {Π±}\).
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
β Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅:
- Π’ΠΈΠΏΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
- ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
- ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ β£aβ£=2β3 ΠΈ β£bβ£ = 4, Π° ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 60 β .
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ sin60Β° = β3/2
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \) = |a ||b|sin(ΞΈ)\( \ΡΠ»ΡΠΏΠ° n \) = 2β3Γ4Γβ3/2 = 12\( \ΡΠ»ΡΠΏΠ° n \)
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 12n.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 2: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\overrightarrow{a}\) = (3,4,5) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = (7,8,9)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
\(\begin{align}a \times b &=\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k\\ 3 & 4 & 5\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\end{align}\)
= [(4Γ9)β(5Γ8)] \( \ΡΠ»ΡΠΏΠ° {i}\) β[(3Γ9)β(5Γ7)]\( \ΡΠ»ΡΠΏΠ° {j} \)+[(3Γ8)β(4 Γ7)] \( \hat {k}\)
= (36β40)\( \hat i\) β (27β35)\( \hat j\) +(24β28) \( \ ΡΠ»ΡΠΏΠ° k\) = β4\( \hat i\) + 8\( \hat j\) β4\( \hat k\)
ΠΡΠ²Π΅Ρ: β΄ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{ b} \) = β4\( \hat i\) + 8\( \hat j\) β4\( \hat k\)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3: ΠΡΠ»ΠΈ \(\overrightarrow{a}\) = (2, -4, 4) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = (4, 0,3), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
\(\overrightarrow{a}\) = 2i — 4j + 4k
\(\overrightarrow{b}\) = 4i + 0j +3k
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{a }\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
β£aβ£=β(2 2 +4 2 +4 2 ) = β36 = 6
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{b}\) ΡΠ°Π²Π½Π°
β£ bβ£=β(4 2 +0 2 +3 2 ) = β25 = 5
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ\(\begin{align}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= \begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k\\ 2 & -4 & 4\\ 4 & 0 & 3 \end{matrix}\\\\&=[(-4\times3) — (4\times0)]\hat i \\ — &[(3\times 2) — (4\times 4)] \hat j \\\\ + &[(2\times 0) -(-4\times 4)]\hat k \\\\&= -12\hat i + 10 \hat j +16 \hat k \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= (-12, 10, 16) \end{align}\)
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{c}\) ΡΠ°Π²Π½Π°
β£cβ£=β(β(12) 2 +10 2 +16 2 )
= β(144+100 +256)
=β500
=10β5
\(\begin{align}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= \mid a \mid \mid b \mid \sin\ ΡΠ΅ΡΠ°\\\sin\theta &= \dfrac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\mid a \mid \mid b \mid}\end{align}\)
sinΞΈ = 10β 5/(5Γ6)
sinΞΈ = β5/3
ΞΈ = sin β1 (β5/3)
ΞΈ = sin β1 (0,74)
ΞΈ = 48 β
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 4 8 β .
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Ρ
Π Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ².
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ, ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠΊ
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Β
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π°ΠΉΠ΄Ρ
Π§Π°ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ. a Γ b = c, Π³Π΄Π΅ c β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ?
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π²ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ΅Ρ
Π° ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π° Γ Π± = | Π° | |Π±| Π³ΡΠ΅Ρ
ΞΈ.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, Ρ. Π΅. ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΡΡΠΈΡ
ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½Ρ. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n\) ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ: \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |a| |b| \cos(\theta)\)
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n\)
ΠΠ΄Π΅
- |\(\overrightarrow a\)| Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{a}\),
- |\(\overrightarrow b\)| ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ \(\overrightarrow{b}\)
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ?
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΞΈ β ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ sin ΞΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ΅Π³Π΄Π° Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ 180Β° Π΄ΠΎ 360Β°, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ sin ΞΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ Π΄Π»Ρ 180Β°< ΞΈ <360Β°.
Π ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ cos ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π° . Π± = |Π°| |Π±| cosΞΈ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π° Γ Π± = | Π° | |Π±| Π³ΡΠ΅Ρ
ΞΈ.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ \(\overrightarrow{A} Γ \overrightarrow{B} =|A||B| sinβ‘ΞΈ\), Π³Π΄Π΅ |A| = Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A, |B| = Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° B, Π° ΞΈ = ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ A ΠΈ B.
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3-a_3b_1) \\+ \ΡΠ»ΡΠΏΠ° k (a_1b_2-a_2b_1)\)
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ?
ΠΠ»Ρ Π΄Π²ΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, \(\overrightarrow{a}\)= \(a_1\hat i+a_2 \hat j+a_3 \hat k\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = \(b_1 \hat i+b_2 \hat j+b_3 \hat k\), ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3- a_3b_1)\\+ \ΡΠ»ΡΠΏΠ° k (a_1b_2-a_2b_1)\)
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ?
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
- Π¨Π°Π³ 1: ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² |A| = Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A, |B| = ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° B ΠΈ ΞΈ = ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ A ΠΈ B.
- Π¨Π°Π³ 2: ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: \ ((\vec {A Γ B})=|A||B|\text{Sinβ‘}\vec{ΞΈ_n}\)
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ \(\vec {A}=a\hat{i} + b\hat{j}+c\hat{k}\) ΠΈ \( \vec{B}=d\hat{i } + e\hat{j}+f\hat{k}\), Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ \({\vec{A Γ B}} = \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{ k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}\)
\({\vec{A Γ B}} = \ΡΠ»ΡΠΏΠ°{i}(bf-ce) — \ΡΠ»ΡΠΏΠ°{j}(af-cd) + \ΡΠ»ΡΠΏΠ°{k}(ae-bd)\)
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.