ΠšΡ€ΠΎΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅: ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ кросс-фитнСс, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΊ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΡƒΡ€ΡΡ‹ фитнСс Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ инструкторов ΠšΡ€ΠΎΡΡ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

На ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ skype, zoom ΠΈΠ»ΠΈ pruffmeΒ 

ВыдаСтся ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ объСм тСорСтичСской ΠΈ практичСской ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.Β 

БСсплатноС ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° блиТайшСм ΠΎΡ„Π»Π°ΠΉΠ½ сСминарС Π² любом Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π΅.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ самым ΠΈ самой Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π΅ ЗСмля!

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сСминар, ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя : ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ, ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, скоростно β€” ΡΠΈΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠ»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ доступны для ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ класса ΠšΡ€ΠΎΡΡΠ€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° позволяСт инструкторам ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ имССтся Π² ΠΊΠ»ΡƒΠ±Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ любого уровня ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ курс Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя большоС количСство ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, которая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ интСрСсной.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ курса, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ силовыС Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² большом спортС ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π² достиТСнии ΠΈΠΌΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ большого количСства силовых, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ Π’Π°ΡˆΠΈ классы Π² ΠΊΠ»ΡƒΠ±Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ постоянных ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ упраТнСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, силовыС ΠΈ скоростныС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π³ΠΈΠ±ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π»ΠΎΠ²ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ.

По Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ окончания курса, инструктор Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… мастСрклассов.

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ курса 3 дня.

ВСорСтичСская Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈΠ’Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
  • Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ‹ провСдСния класса ΠšΡ€ΠΎΡΡΠ€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°;
  • ВСорСтичСскиС основы Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π²Π·Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ силы, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Ρ‚Ρ€ΠΎΡ„ΠΈΠΈ, силовой ΠΈ кардиовыносливости;
  • ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠΈ построСния Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π±Π»ΠΎΠΊΠΎΠ² класса ΠΈ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ;
  • ИспользованиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊ ΠΈ заимствованиС ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² спорта;
  • ИспользованиС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² оборудования.
  • Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ силовых ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌΠΈ оборудования: ΡˆΡ‚Π°Π½Π³ΠΈ, Π³Π°Π½Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π³ΠΈΡ€ΠΈ, Π±Π»ΠΈΠ½Ρ‹, слэмболы, вСс собствСнного Ρ‚Π΅Π»Π°;
  • Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ упраТнСния Β«Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠΊΒ»;
  • Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ упраТнСния Β«Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊΒ».
  • ΠžΡ‚Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… классов с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ;
  • Наработка шаблона ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ провСдСния класса, устранСниС ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… ошибок.
  • По ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ курса, участникам сСминара Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ тСорСтичСскоС ΠΈ практичСскоС тСстированиС.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ кросс-курсы Π½Π° Forex: ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ кросс-Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ кросс-курсы Π²Π°Π»ΡŽΡ‚

Π”ΠΎΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π° БША β€” ΠΎΠ½ являСтся ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π·Π΅Ρ€Π²Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ΠΎΠΉ, Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Π΅ΠΆΠ° β€” ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° говорят ΠΎ курсС Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π΅Ρ‘ курс ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ USD. Но Ρƒ участников Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ² Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ сдСлку Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π°ΠΌΠΈ: Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½Ρ‚Ρ‹ стСрлингов (GBP) Π·Π° ΠΈΠ΅Π½Ρ‹ (JPY). Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ кросс-ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ словами, кросс-курсы Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ β€” это Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Ρ‹ БША. НапримСр, EUR/GBP, GBP/CHF, AUD/CAD, CHF/JPY.

Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠΏΠ»Π΅Π½Π° Π·Π° Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ кросс-курсом состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹ всСгда ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ своё ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ физичСскоС Π²ΠΎΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΊΡƒΠΏΡŽΡ€, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ кросс-курсы ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π²ΠΈΠ΄Ρƒ отсутствия прямой Π½Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ принадлСТности. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, кросс-курсы Π±Π°Π½ΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Π° Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ БША.

НапримСр, Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ происходят для кросс-курса EUR/JPY: Ρ‚Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ€ ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ Π·Π° ΠΈΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ курсу USD/JPY, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π° сумму ΠΊΡƒΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Π΅Ρ‚ Π΅Π²Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ курсу EUR/USD.

ΠšΡ€ΠΎΡΡ-курс ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ Π² прямой ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅. Если Π² кросс-курсС ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π° Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ (Π΅Π²Ρ€ΠΎ, британский Ρ„ΡƒΠ½Ρ‚ ΠΈ Π΄Ρ€.), Π° вторая β€” Π² прямой, Ρ‚ΠΎ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π° Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ мСстС Π² ΠΏΠ°Ρ€Π΅ (Π΅Π²Ρ€ΠΎ/Ρ„Ρ€Π°Π½ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½Ρ‚/ΠΈΠ΅Π½Π°). Если ΠΎΠ±Π΅ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС опрСдСляСтся историчСски слоТившимся сочСтаниСм (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, EUR/GBP, CHF/JPY).

ВсС кросс-курсы ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½ΠΈΠ·ΠΊΡƒΡŽ Π»ΠΈΠΊΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π°ΠΌΠΈ. Но наибольший ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… сдСлок приходится Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ EUR/GBP, этот кросс-курс Π΄Π°ΠΆΠ΅ котируСтся Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½Π° Чикагской Π±ΠΈΡ€ΠΆΠ΅ CME Π² зависимости ΠΎΡ‚ спроса ΠΈ прСдлоТСния Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ.

Расчёт кросс-курсов

ΠŸΡ€ΠΈ расчётС Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кросс-курс β€” это Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ΠΎΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ процСсс, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ курс ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ опрСдСляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· USD. Расчёт кросс-курсов выполняСтся с ΡƒΡ‡Ρ‘Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, прямыми ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Ρƒ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ называСтся ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° иностранной Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°Ρ… БША. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сколько Ρ‚Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ€ смоТСт ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ этой Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹ Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ амСриканский Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€. Π’ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΌ количСствС иностранной Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, сколько Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π΄ΡƒΡ‚ Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ этой Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Ρ‹.

1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ°Ρ€ с прямой ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΅Π²Ρ€ΠΎ/ΠΈΠ΅Π½Ρ‹:

EUR/JPY = EUR/USD Γ— USD/JPY

2. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ°Ρ€ с прямыми ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ канадского Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°/ΠΈΠ΅Π½Ρ‹:

CAD/JPY = USD/CAD Γ· USD/JPY

Π­Ρ‚ΠΈ способы ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для расчёта срСднСго кросс-курса, Π½ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ курсы ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ двустороннСй ΠΊΠΎΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π’ Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Π»Π΅ MetaTrader эти расчёты производятся автоматичСски, Π½ΠΎ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нСлишним для понимания ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ² формирования кросс-курса.

ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π»ΠΈ кросс-курсами Π½Π° Ρ€Ρ‹Π½ΠΊΠ΅ форСкс

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ сущСствСнным нСдостатком Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π»ΠΈ Π±Ρ‹Π» довольно большой спрСд, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΎ кросс-курсы Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ для использования Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… стратСгий, ΠΊΠ°ΠΊ скальпинг ΠΈ интрадэй.

Π£ форСкс-Π΄ΠΈΠ»Π΅Ρ€Π° Β«ΠΠ»ΡŒΡ„Π°-ЀорСкс» Π² настоящСС врСмя ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… условий.

Другая ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π»Π΅ кросс-курсами Ρ‚Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ€Ρƒ придётся ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ экономик Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стран, Π° это нСсколько слоТнСС. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

Однако Π³Ρ€Π°ΠΌΠΎΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ кросс-курса позволяСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π»ΠΈ ΠΏΠΎ основным Π²Π°Π»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌ, Π·Π° Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя. НапримСр, Ссли Π² ΠΏΠ°Ρ€Π΅ EUR/CAD намСчаСтся восхоТдСниС Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π΄Π°, это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Π° Π΅Π²Ρ€ΠΎ ΠΊ амСриканскому Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Ρƒ растёт быстрСС, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ†Π΅Π½Π° канадского Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π° ΠΊ амСриканскому.


Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния

ГСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆ для понимания свойств пСрСкрСстного произвСдСния. Однако гСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ для вычислСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Для вычислСний Π½Π°ΠΌ понадобится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π² Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². НачнСм с использования гСомСтричСского ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для вычислСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния стандартных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² 93$. (ΠœΡ‹ опрСдСляСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΡŽΡŽ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.)

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π°

Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях: $\vc{i}$ (Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ), $\vc{j}$ (синий) ΠΈ $\vc{k}$ (красный) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ось $x$, ось $y$ ΠΈ ось $z$ соотвСтствСнно. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π΅ мСняСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ всСгда ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ оси.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ информация ΠΎΠ± Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π΅.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, натянутый Π½Π° Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΠΈΠ· этих стандартных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ гСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, крСст ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрпСндикулярно Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ, ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ этому Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.

Глядя Π½Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{i} \times \vc{j} &= \vc{k}\\ \vc{j} \times \vc{k} &=\vc{i}\\ \vc{k} \times \vc{i} &= \vc{j} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} Π­Ρ‚Π° нСбольшая цикличСская Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹.

Как насчСт $\vc{i} \times \vc{k}$? По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ $-\vc{j}$. Помня, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\vc{b} \times \vc{a} = — \vc{a} \times \vc{b}$, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{j} \times \vc{i} &= -\vc{k}\\ \vc{k} \times \vc{j} &= -\vc{i}\\ \vc{i} \times \vc{k} &= -\vc{j}. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

НаконСц, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ любого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° самого сСбя Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ($\vc{a} \times \vc{a}=\vc{0}$). Π’ частности, пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ любого стандартный Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с самим собой являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π—Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свойств, упомянутых Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ($\vc{b} \times \vc{a} = -\vc{a} \times \vc{b}$, ΠΈ $\vc{a} \times \vc{a} = \vc{0}$), ΠΌΡ‹ просто ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Он подчиняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ свойствам:

  • $(y\vc{a}) \times \vc{b} = y(\vc{a} \times \vc{b}) = \vc{a} \Ρ€Π°Π· (Π³\Π²ΠΊ{Π±})$,
  • $\vc{a} \times (\vc{b}+\vc{c}) = \vc{a} \times \vc{b} + \vc{a} \times \vc{c}$, 93$ ΠΈ $y$ скаляр. (Π­Ρ‚ΠΈ свойства ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ.) ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти свойства вмСстС с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ стандартных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для крСста ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ.

    ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ $\vc{a}$ ΠΈ $\vc{b}$ запишСм ΠΊΠ°ΠΊ: \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} = (a_1,a_2,a_3)= a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j} + a_3 \vc{k}\\ \vc{b} = (b_1,b_2,b_3)= b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j} + b_3 \vc{k} \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

    Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $a_3=b_3=0$. (Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ манипуляции Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.) РассчитываСм: \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j}) \times (b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j})\\ &= a_1b_1 (\vc{i}\times\vc{i}) + a_1b_2(\vc{i} \times \vc{j}) + a_2b_1 (\vc{j} \times \vc{i}) + a_2b_2 (\vc{j} \times \vc{j}) \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\vc{i} \times \vc{i}= \vc{0}= \vc{j} \times \vc{j}$ ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\vc{i} \times \vc{j} = \vc{k} = -\vc{j} \times \vc{i}$, это быстро упрощаСтся Π΄ΠΎ \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1b_2-a_2b_1) \vc{k}\\ &= \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{массив}{cc} Π°_1 ΠΈ Π°_2\\ Π±_1 ΠΈ Π±_2 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ| \vc{ΠΊ}. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² послСдний шаг, это ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ способ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

    ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $a_3$ ΠΈ $b_3$ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТнСС. Однако это просто вопрос повторСния Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ манипуляций, описанных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, с использованиСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ свойств Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния.

    ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ с Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} \times \vc{b} &= (a_1 \vc{i} + a_2 \vc{j} + a_3\vc{k}) \times (b_1 \vc{i} + b_2 \vc{j} + b_3\vc{k})\\ &= a_1b_1 (\vc{i}\times\vc{i}) + a_1b_2(\vc{i} \times \vc{j}) + a_1b_3(\vc{i} \times \vc{k})\\ &\ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ + a_2b_1 (\vc{j} \times \vc{i}) + a_2b_2 (\vc{j} \times \vc{j}) + a_2b_3 (\vc{j} \times \vc{k})\\ &\ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ + a_3b_1 (\vc{k} \times \vc{i}) + a_3b_2 (\vc{k} \times \vc{j}) + a_3b_3 (\vc{k} \times \vc{k}) \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ всС пСрСкрСстныС произвСдСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} \times \vc{b} &= a_1b_2 \vc{k} — a_1b_3 \vc{j} — a_2b_1 \vc{k} + a_2b_3 \vc{i} + a_3b_1 \vc{j} — a_3b_2 \vc{i}\\ «=» (a_2b_3-a_3b_2)\vc{i} — (a_1b_3-a_3b_1) \vc{j} +(a_1b_2-a_2b_1) \vc{k}. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} \times \vc{b} &=\left| \begin{массив}{cc} Π°_2 ΠΈ Π°_3\\ Π±_2 ΠΈ Π±_3 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ| \vc{я} — \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{массив}{cc} Π°_1 ΠΈ Π°_3\\ Π±_1 ΠΈ Π±_3 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ| \vc{j} + \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{массив}{cc} Π°_1 ΠΈ Π°_2\\ Π±_1 ΠΈ Π±_2 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ| \vc{ΠΊ}. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*}

    Глядя Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ опрСдСлитСля $3 \times 3$, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для пСрСкрСстный ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для $3 \times 3$ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Если ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $\vc{i}$, $\vc{j}$ ΠΈ $\vc{k}$ Π² качСствС записСй (Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, это Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла, Π½ΠΎ это всСго лишь инструмСнт для запоминания пСрСкрСстного произвСдСния), $3 ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ \times 3$ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΡƒ для запоминания крСста ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚: \Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ*} \vc{a} \times \vc{b} = \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ| \begin{массив}{ccc} \vc{i} & \vc{j} & \vc{k}\\ Π°_1 ΠΈ Π°_2 ΠΈ Π°_3\\ Π±_1 ΠΈ Π±_2 ΠΈ Π±_3 \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ|. \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*} Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ способ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ обозначаСтся Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ умноТСния (x) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ бинарная вСкторная опСрация, опрСдСлСнная Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ систСмС. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, пСрпСндикулярный Π΄Π²ΡƒΠΌ исходным Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ. Π•Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° опрСдСляСтся ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ пСрСкрСстного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ большС ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

    1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    2. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСкрСстного произвСдСния
    3. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ пСрСкрСстного произвСдСния
    4. Бвойства пСрСкрСстного произвСдСния
    5. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ крСста
    6. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ пСрСкрСстного произвСдСния
    7. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ пСрСкрСстном ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², выполняСмая ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π°. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Когда Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ называСтся пСрСкрСстным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пСрпСндикулярСн плоскости, содСрТащСй Π΄Π²Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния

    Если A ΠΈ B ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ двумя нСзависимыми Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Ax B) пСрпСндикулярСн ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ ΠΊ плоскости, содСрТащСй ΠΎΠ±Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Он прСдставлСн:
    А Ρ… Π’ = |А| |Π‘| sin ΞΈ

    ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² плоскости X-Y, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ даст Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси Z, которая пСрпСндикулярна плоскости XY . Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Γ— ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ исходными Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ:

    \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}\)

    Π“Π΄Π΅

    • \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
    • \(\overrightarrow{c}\) β€” Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{c}\) ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ \(\ overrightarrow{b}\) ΠΈ \(\overrightarrow{c}\). 9\circ\).Ρ‚. Π΅. \(\overrightarrow{b}\) ΠΈ \(\overrightarrow{c}\) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

  • ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 0Β°, сдСлав Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, исходныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрпСндикулярны (ΡƒΠ³ΠΎΠ» 90Β°), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСкрСстного произвСдСния

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСкрСстного произвСдСния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт собой ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, натянутого Π½Π° Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСкрСстного произвСдСния

Рассмотрим Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\overrightarrow{a}\)= \(a_1\hat i+a_2 \hat j+a_3 \hat k\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = \(b_1 \шляпа i+b_2 \шляпа j+b_3 \шляпа k\). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΞΈ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\), Π° \(\hat n\) β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, пСрпСндикулярный плоскости, содСрТащСй ΠΎΠ±Π΅ \(\overrightarrow{a }\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\). ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n\)

Π“Π΄Π΅

  • \(\mid \overrightarrow a \mid\ ) β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{a}\),
  • \(\mid \overrightarrow b \mid\) β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{b}\).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) — Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\overrightarrow{a}\)= \(a_1\hat i+a_2 \ hat j+a_3 \hat k\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = \(b_1 \hat i+b_2 \hat j+b_3 \hat k\), Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пСрСкрСстного произвСдСния, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ запись.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдставляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пСрСкрСстного произвСдСния ΠΊΠ°ΠΊ: j (a_1b_3-a_3b_1)\\+ \hat k (a_1b_2-a_2b_1)\)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: \( \hat i, \hat j, \text{ ΠΈ } \hat k \) β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ оси x, оси y ΠΈ оси z соотвСтствСнно.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ пСрСкрСстном ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ. ΠœΡ‹ слСдуСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

  • ΠΠ°ΠΏΡ€Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (\(\overrightarrow{A}\)).
  • БовмСститС срСдний ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\overrightarrow{B}\).
  • Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ большой ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ† ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это.

Бвойства пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Бвойства пСрСкрСстного произвСдСния ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ ясно ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ всС ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… вычислСний. Бвойства пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

  1. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(= \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta)\).
  2. АнтикоммутативноС свойство: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = — \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}\)
  3. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство: \(\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} )+ (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{с})\)
  4. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}\)
  5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с самим собой: \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\)
  6. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ: \(\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) = c\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times c\overrightarrow{b}\)
  7. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: \(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i} =\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k} = 0\)
  8. \(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j} = \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i}\\\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{j}\)
  9. \(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i} = \overrightarrow{-k}\\ \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{-i}\\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k} = \overrightarrow{-j}\)

Π’Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² прСдставляСт собой Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСкрСстного произвСдСния являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСсСчСния Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Если a, b ΠΈ c β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

\((\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} -(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}) \overrightarrow{a}\)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ. Π”Π²Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простых ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€Π°Π½Π°: ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ силы ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌ ΠΊΡ€Π°Π½Π°. Π’ этом случаС примСняСтся крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Π’ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ прСдставляСт собой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (ΠΎΡ‚ оси вращСния Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прилоТСния силы) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° силы.

Ρ‚. Π΅. \(\overrightarrow{T} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}\)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π‘ΠΊΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Ρ‚Π° Π³Π°Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΎΠΌ: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π³Π°Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ усилиС ΠΊ Π³Π°Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Ρƒ (Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°Ρ‚ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ»Π°Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Ρ‚), являСтся Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ закручивания пСрпСндикулярно ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.

Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ примСчания

  • Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² получаСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.
  • НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² опрСдСляСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° опрСдСляСтся ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ исходными двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow {Π±}\).
  • ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

β˜› Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅:

  • Π’ΠΈΠΏΡ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
  • ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
  • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ пСрСкрСстного произвСдСния
  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

  1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ ∣a∣=2√3 ΠΈ ∣b∣ = 4, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60 ∘ .

    Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

    РСшСниС:

    ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin60Β° = √3/2

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \) = |a ||b|sin(ΞΈ)\( \шляпа n \) = 2√3Γ—4Γ—βˆš3/2 = 12\( \шляпа n \)

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 12n.

  2. Вопрос 2: НайдитС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\overrightarrow{a}\) = (3,4,5) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = (7,8,9)

    РСшСниС:

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ задаСтся ΠΊΠ°ΠΊ

    \(\begin{align}a \times b &=\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k\\ 3 & 4 & 5\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\end{align}\)

    = [(4Γ—9)βˆ’(5Γ—8)] \( \шляпа {i}\) βˆ’[(3Γ—9)βˆ’(5Γ—7)]\( \шляпа {j} \)+[(3Γ—8)βˆ’(4 Γ—7)] \( \hat {k}\)

    = (36βˆ’40)\( \hat i\) βˆ’ (27βˆ’35)\( \hat j\) +(24βˆ’28) \( \ шляпа k\) = βˆ’4\( \hat i\) + 8\( \hat j\) βˆ’4\( \hat k\)

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ∴ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{ b} \) = βˆ’4\( \hat i\) + 8\( \hat j\) βˆ’4\( \hat k\)

  3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Если \(\overrightarrow{a}\) = (2, -4, 4) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = (4, 0,3), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

    РСшСниС

    \(\overrightarrow{a}\) = 2i — 4j + 4k

    \(\overrightarrow{b}\) = 4i + 0j +3k

    Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{a }\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

    ∣a∣=√(2 2 +4 2 +4 2 ) = √36 = 6

    Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{b}\) Ρ€Π°Π²Π½Π°

    ∣ b∣=√(4 2 +0 2 +3 2 ) = √25 = 5
    Богласно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ пСрСкрСстного произвСдСния, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

    \(\begin{align}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= \begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k\\ 2 & -4 & 4\\ 4 & 0 & 3 \end{matrix}\\\\&=[(-4\times3) — (4\times0)]\hat i \\ — &[(3\times 2) — (4\times 4)] \hat j \\\\ + &[(2\times 0) -(-4\times 4)]\hat k \\\\&= -12\hat i + 10 \hat j +16 \hat k \\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= (-12, 10, 16) \end{align}\)

    Π”Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{c}\) Ρ€Π°Π²Π½Π°

    ∣c∣=√(βˆ’(12) 2 +10 2 +16 2 )

    = √(144+100 +256)

    =√500

    =10√5

    \(\begin{align}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} &= \mid a \mid \mid b \mid \sin\ Ρ‚Π΅Ρ‚Π°\\\sin\theta &= \dfrac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\mid a \mid \mid b \mid}\end{align}\)

    sinΞΈ = 10√ 5/(5Γ—6)

    sinθ = √5/3

    ΞΈ = sin βˆ’1 (√5/3)

    ΞΈ = sin βˆ’1 (0,74)

    θ = 48 ∘

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 8 ∘ .

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Π Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ слоТныС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простых Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… срСдств.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° большС Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° бСсплатный ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ вопросы ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Β 

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ пСрСкрСстном ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пСрпСндикулярСн Π΄Π²ΡƒΠΌ исходным Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° опрСдСляСтся ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ. a Γ— b = c, Π³Π΄Π΅ c β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² a ΠΈ b.

Каков Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСкрСстного произвСдСния?

Когда ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ пСрпСндикулярно плоскости, содСрТащСй Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Ρ€Π΅Ρ…Π° ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π° Γ— Π± = | Π° | |Π±| Π³Ρ€Π΅Ρ… ΞΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ двумя Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами, Ρ‚. Π΅. скалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ пСрСкрСстным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… этих ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π° пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² задаСтся ΠΊΠ°ΠΊ: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n\) ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° скалярного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² задаСтся ΠΊΠ°ΠΊ: \(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |a| |b| \cos(\theta)\)

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a| |b| \sin(\theta) \hat n\)

Π“Π΄Π΅

  • |\(\overrightarrow a\)| Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(\overrightarrow{a}\),
  • |\(\overrightarrow b\)| являСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ \(\overrightarrow{b}\)

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ?

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΞΈ β€” это ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя исходными Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ sin ΞΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ВсСгда Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

Когда ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя исходными Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ измСняСтся ΠΎΡ‚ 180Β° Π΄ΠΎ 360Β°, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ становится ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin ΞΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ для 180Β°< ΞΈ <360Β°.

Π’ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ скалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ пСрСкрСстным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ исходных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ cos ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π° . Π± = |Π°| |Π±| cosΞΈ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π° Γ— Π± = | Π° | |Π±| Π³Ρ€Π΅Ρ… ΞΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния для Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния опрСдСляСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², задавая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСкрСстного произвСдСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ \(\overrightarrow{A} Γ— \overrightarrow{B} =|A||B| sin⁑θ\), Π³Π΄Π΅ |A| = Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A, |B| = Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° B, Π° ΞΈ = ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ B.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3-a_3b_1) \\+ \шляпа k (a_1b_2-a_2b_1)\)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСкрСстного произвСдСния с использованиСм ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ записи?

Для Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\overrightarrow{a}\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НапримСр, \(\overrightarrow{a}\)= \(a_1\hat i+a_2 \hat j+a_3 \hat k\) ΠΈ \(\overrightarrow{b}\) = \(b_1 \hat i+b_2 \hat j+b_3 \hat k\), Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \hat i (a_2b_3-a_3b_2) \\- \hat j (a_1b_3- a_3b_1)\\+ \шляпа k (a_1b_2-a_2b_1)\)

Как ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ пСрСкрСстного произвСдСния?

Рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

  • Π¨Π°Π³ 1: ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² |A| = Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A, |B| = ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° B ΠΈ ΞΈ = ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ B.
  • Π¨Π°Π³ 2: ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния: \ ((\vec {A Γ— B})=|A||B|\text{Sin⁑}\vec{ΞΈ_n}\)

НапримСр, Ссли \(\vec {A}=a\hat{i} + b\hat{j}+c\hat{k}\) ΠΈ \( \vec{B}=d\hat{i } + e\hat{j}+f\hat{k}\), Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ \({\vec{A Γ— B}} = \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{ k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}\)

\({\vec{A Γ— B}} = \шляпа{i}(bf-ce) — \шляпа{j}(af-cd) + \шляпа{k}(ae-bd)\)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ для пСрСкрСстного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Β