Комплексные числа упражнения: Комплексные числа, примеры с решением

Содержание

Практические работы по теме»Комплексные числа»

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«БЕЛГОРОДСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Практические работы по теме «Комплексные числа»

Разработала: преподаватель математики

Н. А. Гроза

Белгород 2018

Практическая работа №1

Тема: «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»

Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Краткие теоретические сведения.

Комплексные числа — числа вида Z = a + ib, где a,b – вещественные числа, а i = — мнимая единица (i2 = −1). Множество комплексных чисел обозначается C.

Действительные числа a и b комплексного числа Z = a + ib, называются действительной и мнимой частью числа z и обозначаются, соответственно, Rez=x и Imz=y.

Два комплексных числа z1=a + ib и z2=c + id называются равными в том и только том случае, если a = c, b = d.

Запись Z=a + ib называют алгебраической формой комплексного числа z.

Числа Z=a + ib и =a ib называют комплексно сопряженными.

Геометрическое представление комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z = a + ib можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами (a;b), и радиус-вектор R комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

, где — аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение: Z1 + Z2 = (a+ib)+(c+id) = (a+c) + (b+d)i.

Вычитание: Z1 — Z2 = (a+ib)-(c+id) = (ac) + (bd)i.

Умножение: Z1 · Z2 = (a+ib)(c+id)=(ac bd)+(ad + cb)i.

Деление: .

Умножение на сопряженное: Z · =(a + bi)(abi)= a2b2i2= a

2b2·(-1) = a2 + b2 – квадрат суммы

Примеры решения задач:

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме:

Z1 = 4+ 5i, Z2 = 6−9i.

Решение: 1) Z1 + Z2 = (4+ 5i) + (6−9i)= 4+6+5i -9i.= 10 – 4i

2) Z1 — Z2 = (4+ 5i) — (6−9i)= 4-6+5i +9i.= -2 + 14i

3) Z1 ·Z2 = (4+5i)(6− 9i)= 24 −36i + 30i− 45i2= 24 -6i — 45·(-1) = 69 -6i.

4)

Ответ: Z1 + Z2 =10 – 4i, Z1 — Z2 = -2 + 14i, Z1 ·Z2 =69 -6i,

Пример 2. Раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения:

1) (2+ 3i)2 = 22 + 2·2·3i + (3i)2 = 4 +12i + 9·(-1) = -5+12i,

2) (5 + 4i)(5 — 4i)= 52 –42i2= 25 – 16·(-1) = 25 + 16 =4,

3) (3-5i)2 = 32 — 2·3·5i + (-5i)2 = 9 — 30i + 25(-1) = -16- 30i.

Пример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа

Z1 = 2 + i; Z

2 = 3i;

Z3 = -3 + 2i; Z4 = -1 – i. 

Контрольные вопросы.

  1. Дайте определение комплексного числа.

  2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?

  3. Какие комплексные числа называются равными?

  4. Как вычислить модуль комплексного числа?

  5. Как производятся действия над комплексными числами в алгебраической форме?

Задания для самостоятельного решения

Z1 = 4i Z2 = 3 + i

Z3= — 4 +3i Z4= — 2 -5i

Z1= -5i Z2= 4 + i

Z3= -7 + 2i Z4= -3 – 6i

Z1= -5i Z

2= 4 + i

Z3= -7 + 2i Z4= -3 – 6i

Z1= -5i Z2= 4 + i

Z3= -7 + 2i Z4= -3 – 6i

2 . Вычислите модуль комплексного числа

Z = 3 + 4i

Z = 8 + 6i

Z = -1 + i

3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

Z1 = (3 + 5i) , Z2 = (7 – 2i)

Z1 = (3 – 2i), Z2 = (5 + 3i)

Z1 = (4 + 2i), Z2 = (– 3 + 2i).

Z1 = (– 2 + 3i), Z2 = (7 – 2i)

4. Выполните действие над комплексными числами:

а) (2 + 3i)(5 – 7i),
б) (3 + 2i)(3 – 2i),

в) (3 + 5i)2,

г) .

а) (3 + 2i)(1 + 3i),
б) (7 – 6i)(7 + 6i),

в) (2 – 7i)2,

г) .

а) (– 2 + 3i)(3 + 5i),

б) (4 + 3i)(4 – 3i),

в) (4 + 2i)2,

г) .

а) (6 + 4i)(5 + 2i),

б) (2 – 5i)(2 + 5i),

в) (3 – 2i)2,

г) .

5. Решите уравнения:

x2 – 4x + 13 = 0.

2,5x2 + x + 1 = 0..

x2 + 3x + 4=0

4x2 – 20x + 26 = 0

Практическая работа №2

Тема: «Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме»

Цель работы: научиться переводить комплексные числа и выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Краткие теоретические сведения.

Для всякого комплексного числа z = a + ib справедливо равенство:

z=R(cosφ+ isinφ) называют тригонометрической формой комплексного числа,

z = – называют показательной формой комплексного числа

Здесь — модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

Угол φ между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке, называется

аргументом комплексного числа — .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

В тригонометрической форме

z1 =R1(cosφ1 + isinφ1), z2 =R2(cosφ2 + isinφ2)

В показательной форме

Z1 = , Z2 =

Умножение

Z1 ∙ Z2 = R1

∙R2(cos(φ12) + isin(φ12)).

Z1·Z2=

Деление

.

,

Возведение в степень

zn =Rn(cos nφ + isin nφ) — формула Муавра

.

Извлечение корня

, k = 0,1,2…..n-1

,

k = 0,1,2…..n-1

Примеры решения задач:

Пример. А) Представить числа z1 = , в тригонометрической и показательной форме,

Б) вычислить в тригонометрической форме: 1) z

1∙z2; 2) ; 3) ; 4)

Решение: А). Получим тригонометрическую и показательную форму z1 = ,

1) Найдем модуль числа — , 2) Найдем аргумент числа — ,

3) запишем к.ч. в тригонометрической и показательной форме:

z1 = .

,

1) — модуль числа,

2) — аргумент числа

3) запишем к.ч. в тригонометрической и показательной форме:

.

Б) Произведение:

z1∙z2 =

.

Частное:

=

.

Возведение в степень:

.

Извлечение из под знака корня:

.

Пр k=0: ;

Пр k=1: .

Задания для самостоятельного решения

  1. Изобразить комплексные числа на комплексной плоскости. 

  2. Определить длину и аргумент каждого комплексного числа. 

  3. Представить данные комплексные числа в тригонометрической и показательной форме.

  4. Вычислить в тригонометрической и показательной формах:

1) z1z2; 2) ; 3) ; 4)

Z1= 2- 2i; Z2=

Z1= ; Z2=

Z1= ; Z2=

Z1= ; Z2=

Комплексные числа, примеры решений

Теория про комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексным числом называется число вида , где и действительные числа, а – мнимая единица такая, что .

При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической; является действительной частью комплексного числа, а – мнимою. Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме

   

или показательной форме:

   

где – модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа такой, что , где или .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число .
Решение Найдем модуль заданного комплексного числа, по условию действительная часть , а мнимая , тогда подставляя в формулу для нахождения модуля, получим

   

Вычислим аргумент заданного комплексного числа:

   

Тогда тригонометрическая форма этого комплексного числа будет иметь вид:

   

показательная:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти разность и сумму комплексных чисел и .
Решение Найдем сумму комплексных чисел, при этом отдельно складываем действительные и мнимые части заданных чисел:

   

Вычислим разность заданных комплексных чисел, при этом действительные и мнимые части чисел вычитаются отдельно:

   

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти произведение и частное чисел и .
Решение Найдем произведение заданных комплексных чисел:

   

Учитывая, что , окончательно получим:

   

Вычислим частное комплексных чисел и :

   

умножим числитель и знаменатель полученной дроби на сопряженное комплексное число к знаменателю, то есть на , получим:

   

Учитывая, что , окончательно получим:

   

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Возвести комплексное число в степень : а) ; б) .
Решение а) Возведем заданное комплексное число в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:

   

б) Для возведения комплексного числа в шестую степень, воспользуемся формулой Муавра. Чтобы её применить, необходимо представить комплексное число в тригонометрической или показательной формах. Найдем модуль заданного комплексного числа:

   

Далее находим его аргумент:

   

Запишем тригонометрическую форму заданного комплексного числа:

   

По формуле Муавра

   

Преобразовывая это выражение, получим алгебраическую форму шестой степени заданного комплексного числа :

   

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить и изобразить корни на комплексной плоскости.
Решение Представим число в тригонометрической форме, для этого найдем его модуль и аргумент:

   

   

Тогда

   

Корни четвертой степени найдем, используя формулу Муавра

   

В нашем случае . Найдем значения этого выражения для каждого :

   

   

   

   

Полученные корни можно изобразить на комплексной плоскости. Они будут точками, лежащими на окружности с центром в начале координат и радиусом , а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны (рис. 1).

Ответ

Материал по алгебре (10 класс) по теме: Тренажер по теме «Умножение и деление комплексных чисел»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок по математике «Отличие умножение и деления обыкновенных дробей от умножения и деления смешанных чисел»

Цель урока: систематизировать знания и умения детей, связанные с умножением и делением обыкновенных дробей и смешанных чисел на однозначное число; развивать умение работать с различными видами информа…

План-конспект урока»Умножение и деление комплексных чисел»

Урок изучения нового материала с использованием ЭОР….

Комплексные числа. Лекция 1. Основы теории комплексных чисел.

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине «Математика». раздел 1. Алгебра…

Комплексные числа. Лекция 3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине «Математика». раздел 1. Алгебра…

«Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Взаимосвязь операций над комплексными числами и преобразований плоскости»

изложение теоретического материала по теме «Комплексные числа»…

Урок «Введение в комплексные числа. Алгебраическая форма комплексных чисел».

    Многие ребята уверены, что квадратное уравнение при отрицательном дискриминанте не имеет корней, существенное уточнение – действительных корней!      Позн…

Презентация к уроку математики в 5 классе по теме»Деление натуральных чисел. Деление с остатком»

Презентация позволит быстро и наглядно повторить материал начальной школы по теме «Деление» и закрепить умение выполнять деление с остатком…

Методическая разработка по математике «Комплексные числа. Теория и практикум»

ОГБПОУ

«Кожевниковский техникум агробизнеса»

.

«Комплексные числа. Теория и практикум»

Методическая разработка по математике

с. Кожевниково

2017г

Методическая разработка для преподавателей математики и

студентов СПО.

Разработчик:

Л.А. Киселева – преподаватель математики.

Методическая разработка содержит теоретический материал с решением примеров типовых задач, необходимый при изучении темы: «Комплексные числа», практический материал: задания для самостоятельной работы, вопросами для повторения и зачетными работами. Для наглядности по теме представлена презентация. Методическая разработка составлена в соответствии с программой по математике, рекомендованной Министерством образования и науки РФ для средних специальных учебных заведений.

Данная разработка может быть использована на учебных занятиях и для самостоятельной подготовки студентов всех специальностей.

Содержание

Введение……………………………………………………………………. 3

Основная часть.

Раздел 1. Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел………………………………………………………… 5

Раздел 2. Определение комплексных чисел и операций над ними

2.1. Определение комплексных чисел……………………………………………….. 8

2.2. Решение квадратных уравнений с отрицательным

дискриминантом……………………………………………………………………………… 11

2.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме…. 12

2. 4. Геометрическое изображение комплексных чисел…………………….. 15

Раздел 3. Практикум………………………………………………………………………… 18

3.1. Упражнения…………………………………………………………………………….. 19

Заключение…………………………………………………………………………………….. 21

Литература………………………………………………………………………………………. 22

Приложения

2

Введение…

Современное общество предъявляет выпускникам техникумов достаточно высокие требования. Эти требования касаются и общей культуры выпускника и научной культуры. В нашем случае мы будем говорить о математической культуре, а точнее — об алгебраической.

С первого класса и до окончания школы главным понятием алгебры является понятие числа. Изучение чисел идет последовательно: натуральные числа, дроби, целые числа, иррациональные, действительные. На этом общеобразовательная программа (изучение комплексных чисел проходит только на факультативных занятиях), практически ставит точку, оставляя существенный пробел в знаниях ученика. Поэтому они не понимают реального значения комплексных чисел, полностью отсутствует представление о приложениях комплексных чисел, допускают логические ошибки. В сознании учащихся этот раздел представляется как формально-логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру.

Невозможно же, в самом деле, взвесить кг хлеба или отмерить метров материала! Ведь даже само обозначение i для напоминает, что это число воображаемое, придуманное — оно происходит от латинского слова imaginarius — воображаемый, мнимый». Учитывая это, можно сделать вывод, что учащиеся лишь формально усваивают что такое «комплексное число» и недостаточно глубоко вникают в его суть, поэтому естественным и логически правильным является формирование более общего понятия — понятия комплексного числа. И на это есть несколько причин.

Во-первых, тема «Комплексные числа» традиционно входила в программы по математике, курс углубленного изучения.

Во-вторых, эта тема включена в государственный стандарт СПО по математике (профильный уровень). Например, выдержка из стандарта (раздел «Числовые и буквенные выражения»):

3

«Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры».

В-третьих, комплексные числа важны как область математики, в которой знания и умения работают в полную силу, полученные студентами при изучении алгебры и тригонометрии.

И в-четвертых, переход от действительных чисел к комплексным является завершающим шагом в изучении понятия числа в курсе математики.

Введение комплексных чисел представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении курса обучения иллюстрацию диалектического развития математических понятий, логической простоты и завершенности. Понятие о числе выстраивается в стройное единое целое. Кратко говоря, множество комплексных чисел получается из множества действительных чисел «добавлением» только одного нового числа , для которого ,

и всех комбинаций вида с действительными коэффициентами и . При «добавлении» единственного корня квадратного уравнения мы переходим к числам, в которых любое уравнение -й степени имеет корни.

Актуальность разработки определяется тем, что студентов должны иметь представление о множестве комплексных чисел, операций над ними, их различных приложений, уметь применять знания для решения задач.

Целью работы является представление теоретических и контрольно-проверочных материалов, эффективных и разнообразных заданий для организации повторения и углубления знаний по теме «Комплексные числа».

Практическая значимость данной методической разработки заключается в том, что все материалы работы могут быть использованы в учебном процессе математической подготовки студентов в системе СПО.

4

Раздел 1. Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел

Человечество всегда сталкивалось с проблемами неразрешимости каких — либо задач и искало, когда успешно, а когда и нет, пути их решения. Например, в математике, для того чтобы любое уравнение имело корни, положительных чисел оказалось недостаточно и за два века до н.э. китайскими математиками были введены отрицательные числа. Отрицательные числа помогли описывать единым образом изменение величин.

Для решения уравнений вида потребовалось введение дробных чисел. Известно, что за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби.

В VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, и то, что из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя:

нет, например, такого числа , чтобы выполнялось равенство .

В XVI веке изучения кубические уравнения столкнулись с необходимостью научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В 1545 году итальянский математик Д. Кардано (1501 — 1576) предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда, при , нужно только действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и принять, что . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их, ведь с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины.

5

Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли

(ок. 1526 — 1572), в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Далее комплексные числа применялись в различных вопросах алгебры, но практических применений пока не имели. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Рене Декарт.

Вообще математики XVI в. вплоть до начала XIX–го относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Рене Декарт), «вымышленными», «несуществующими», «возникшими от избыточного мудрствования» (Д. Кардано). Г. Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а считал символом потустороннего мира (и даже завещал написать его на своей могиле).

Многие ученые этого периода пытались интерпретировать комплексные числа на прямой линии и применять к таким понятиям (как например, температура, время), не требующим плоскостного изображения.

Позднее, Л. Эйлер (1707 — 1783) ввел в математику символ , где ( — это первая буква латинского слова imaginarius, что значит «мнимый», «воображаемый»).

Также Л. Эйлером была выведена формула , которая впоследствии была названа его именем. Эта формула позволила:

 доказать периодичность экспоненциальной функции;

 вывести логарифмы комплексных чисел.

Более строгую теорию нового множества чисел, которые были названы «комплексными», развил немецкий ученый Карл Гаусс (1777 — 1855), который также дал их геометрическое толкование, позволившее преодолеть многие трудности в их понимании. Хотя до Гаусса геометрическое толкование встречается у датского землемера К. Веселя (1745 — 1818) и

6

у французского математика Аргана (1768-1822). К. Гаусс в 1831 году дал глубокое обоснование комплексных чисел и их приложений в математике.

После того как появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых» или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные.

В XIX веке О. Коши (1789-1857), и К. Вейерштрасс (1815-1897) на базе комплексных чисел создали новую математическую дисциплину — теорию функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной математике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли российские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев — к аэродинамике и гидродинамике, Н.Н. Боголюбов и В.С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля. Сейчас трудно указать область физики, механики, где не применялись бы комплексные числа.

7

Раздел 2. Определение комплексных чисел и операций над ними

2.1. Определение комплексных чисел

До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции (вычитание, сложение, умножение и деление на число, отличное от нуля) над действительными числами снова дают числа действительные. Отсюда следует, в частности, что рациональная функция с действительными коэффициентами принимает действительные значения при всех действительных значениях аргумента, для которых она определена.

Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для положительных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя. Поэтому в теории квадратных уравнений приходится рассматривать следующие случаи:

8

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений с отрицательным дискриминантом (D), уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к нему новое число i такое, что Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали «мнимой единицей» — оно не выражало ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведения этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида , где , а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. чисел вида где Получившиеся при этом числа были названы комплексными, так как они содержали действительную часть a и чисто мнимую часть Они-то и стали завершающим звеном (по крайней мере в данный период времени) «Числовой системы».

9

Степени мнимой единицы

Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i= ii = -i,

i= i3i1 = 1,

i5 = ii = i,

i= ii1 = -1,

i= ii1 = -i,

i8 = i7i1= 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени n разделить на 4.

Если остаток равен 0, то значение степени равно 1.

Если остаток равен 1, то значение степени равно i.

Если остаток равен 2, то значение степени равно -1..

Если остаток равен 3, то значение степени равно –i..

Пример: найти i28 , i 33 ,i 135 .

Имеем 28=4 * 7 (нет остатка), 33 = 4 * 8 + 1, 135 = 4 * 33 + 3.

Соответственно получаем i28 = 1, i 33 = i , i 135 = — I .

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа,  i — мнимая единица, b – коэффициент при мнимой части.

10

Приняты обозначения (от французских слов reele означает действительный и imaginaire — мнимый). Запись комплексного числа в виде

a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и с + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т.е.

+ bi = с + di , если = с и b=d.

Кроме того, каждое комплексное число z = a + bi имеет противоположное ему число -z, а именно . В самом деле,

.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi  при b = 0 считается совпадающим с действительным числом aa + 0i =a.

Комплексное число a + bi  при  a = 0  называется чисто мнимым и обозначается bi0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi  и  = a – bi, отличающиеся лишь знаком перед мнимой частью, называются сопряженными.

2.2. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Решением квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда будут два сопряженных комплексных числа.

Пример. Решить квадратное уравнение .

Решение.

Вычислим дискриминант

.

Представляем отрицательное число как произведение (–1) и положительного числа и заменяем (–1) на :.

11

Найдем .

Находим корни уравнения:

;

.

Ответ: два сопряженных комплексных числа: и .

2.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия:

1) Сложение.

Определение.

Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2,

то есть  z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

Пример. Выполнить сложение:  (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. 

Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

12

Пример. Выполнить вычитание:  (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение.

Произведением комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.

2º. Ассоциативность: (z1z2)z= z1(z2z3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

4º. z ·  = (a + bi)(a – bi) = a2 + b— действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример. Выполнить умножение:  (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i =

=31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

13

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z1 = a1 + b1iz2 = a2 + b2i, тогда

.

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример . Найти частное .

1 способ.

.

2 способ.

.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

.

14

2. 4. Геометрическое изображение комплексных чисел

Мы дали определение понятию комплексного числа и научились выполнять над комплексными числами арифметические действия, а также извлекать из них квадратные корни. Как отмечалось, одним из важнейших является вопрос о практическом значении комплексных чисел. Чтобы ответить на него, нужно сначала научиться изображать эти числа геометрически подобно тому, как изображаются действительные числа точками на координатной прямой.

Комплексное число задается парой действительных чисел. Та же пара чисел может рассматриваться в качестве координат точки на координатной плоскости. Поэтому поставим в соответствие каждому числу точку и обозначим ее (Рис.1).

Рис.1

Ясно, что при этом каждая точка координатной плоскости изображает одно и только одно число, а каждое число изображается одной и только одной точкой. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым – точки оси ординат. Сопряженные числа изображаются точками координатной плоскости, симметричными относительно оси абсцисс.

15

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы, т.е. векторы , идущие из начала координат в точку . Разумеется, вместо радиус-векторов можно брать любые векторы, имеющие то же направление и ту же длину.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операции над ними. Мы знаем, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части (Рис.2)

z1+z2=

(Рис.2)

Точно так же при сложении векторов отдельно складываются их координаты: если и , то . Это означает, что при указанном соответствии операциям сложения и вычитания комплексных чисел соответствуют те же операции над векторами. Иными словами, если числу соответствует вектор , а числу — вектор , то числу соответствует вектор , а числу вектор .

Аналогично при умножении комплексного числа на действительное число соответствующий ему вектор умножается на это же число. Иными словами, числу соответствует вектор . В самом деле, на умножаются как обе координаты вектора , так и действительная и мнимая части числа

16

Раздел 3. Практикум

Практикум — один из видов лабораторно — практических работ по предмету и применяются при завершении крупного раздела, курса.

Их цель: обобщение и повторение способов действий.

Практикум по теме «Комплексные числа» состоит из теоретических вопросов по изученному материалу, а также предлагается выполнить упражнения, которые подобны тем примерам, что были решены в ходе теоретического изложения темы. В зависимости от уровня усвоения учебного материала, от учебных возможностей обучающихся, преподаватель может исключить из самостоятельной работы вопросы теоретического содержания и оставить только практические упражнения.

Цели практикума:

1. Обучающая: обобщение и систематизация полученных теоретических знаний, применение имеющихся навыков при решении задач по разделам:

1) Операций над комплексными числами.

2) Сопряженные комплексные числа.

3) Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.

2. Воспитательная: продолжить развитие учебно-коммуникативных умений.

3. Развивающая: развитие математического мышления обучающихся, развитие таких качеств личности, как сравнение, обобщение, аналогия при решении упражнений по данной теме, индивидуальная работа.

При проведении практикума используется поисковый и исследовательский методы обучения. При подготовке преподавателю рекомендуется готовить разнообразный материал, способный заинтересовать студентов для большего усвоения учебного материала: презентации, кроссворды, рабочие карты и т.п. (Раздел «Приложения»)

17

3.1. Упражнения

1. Выполнить действия:

1) (3+i)+(–3–8i)

2) (5–4i) + (7+4i)

3) (–6+2i) + (–6–2i)

4) (0,2+0,1i)+(0,8–1,1i)

5) (2–3i) + (5+6i) + (–3–4i)

6) (7+i)–(9+2i)

7) (–2–5i)–(2+5i)

8) (1–i)–(7–3i)–(2+i) + (6–2i)

2. Выполнить действия:

1) (5–3i)2i

2) (3+4i)(3–4i)

3) (5+3i)(2–5i)

4) (–2–i)(1+i)

5) (0,2–0,3i)(0,5+0,4i) Ответ: 0,22–0,07i

3. Выполнить действия:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

18

4. Решить уравнение:

1) Ответ: 33i

2) Ответ: –2i

3) Ответ: 0,40,2i

4) Ответ: 3i

5) Ответ: 34i

6) Ответ: –54i

1. Изучение темы «Комплексные числа» в настоящее время предлагается для студентов образовательных учреждений СПО.

2. Необходимо учитывать психолого-педагогические особенности студентов:

  • мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;

  • учебная деятельность предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;

3. Изучение темы «Комплексных чисел» преследует следующие основные цели:

  • повышение математической культуры учащихся;

  • углубление представлений о понятии числа;

  • осознание практического применения комплексных чисел; дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки;

  • дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

4. Данная методическая разработка рассчитана для того, чтобы студенты вполне успешно усвоили содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умели оперировать этим понятием при решении практических задач. А преподаватели должны раскрывать роль математики в жизни общества практически на каждом занятии, реализуя тем самым единый принцип обучения и воспитания.

20

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студентов учреждений СПО. М.: Издательский центр «Академия», 2015.-256с.

  2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студентов учреждений СПО. М.: Издательский центр «Академия», 2014.-416с.

  3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.Пособие для средних спец. Учеб. заведений/ Н.В. Богомолов.- 5-е изд.стереотип. — М.: Высш.шк., 2002.-495 с.

  4. А.А. Дадаян. Математика. Москва.: «Форум — Инфра» — М. 2004.

  5. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. Учеб. пособие для техникумов.- М.: Высш. шк.,1991.-480с.

  6. Математика. Энциклопедия. «Аванта», 2005.

  7. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11кл. : уче

Методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему: Методическая разработка «Комплексные числа»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

МЕТОДИЧЕСКАЯ   РАЗРАБОТКА

для факультативных занятий учащихся II курса при изучении темы «Комплексные числа» дисциплины «Математика»

Санкт-Петербург

2012 год

ОДОБРЕНА                                                УТВЕРЖДАЮ

методической комиссией                                Заместитель директора по УР

общеобразовательных дисциплин

Председатель комиссии

 ________________В.П. Косякова                ______________Н.Г. Мельничук

Автор: Л.И. Поройкова

Введение

Тема «Комплексные числа» в курсе современной математики, а также в ряде разделов физики и техники имеет большое значение, так как с ней связано дальнейшее развитие понятия числа. Комплексные числа – это числа более общей природы, появились в XVI веке при решении уравнений III степени, когда стало ясно, что реальные решения рассматриваемых уравнений существуют, но не всегда могут быть найдены, если ограничиваться только действиями над действительными числами.

Комплексные числа имеют различные интерпретации (алгебраическую, тригонометрическую, показательную и геометрическую). Процесс их становления был долгим и противоречивым. Полное признание комплексные числа завоевали лишь в начале XIX века, когда немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выяснил их геометрический смысл.

В условиях начального профессионального образования оно приобретает особую актуальность ещё и потому, что комплексные числа находят широкое применение при изучении ряда общетехнических и специальных предметов.

Дидактическая цель занятий по математике достигается различными путями, но главными из них являются: удачное сочетание методов и средств обучения в конкретных условиях; соответствующий подбор примеров и упражнений, способствующий развитию познавательной самостоятельности учащихся и интереса к дисциплине; показ значимости приобретённых знаний по математике для познания её самой и других дисциплин.  

Тема: развитие понятия числа, комплексные числа, основные соотношения; алгебраическая форма комплексного числа; действия над комплексными числами в алгебраической форме; геометрическая интерпретация комплексного числа; геометрическое изображение суммы и разности комплексных чисел.

Цель:  расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами в алгебраической форме.

Вид занятия:  урок усвоения новых знаний.

Актуализация опорных знаний учащихся.  

О числовых множествах известны следующие сведения:

а) множество натуральных чисел N={1,2,3, …, n, …}; эти числа появились в глубокой древности. Их практическим применением был счет предметов. На данном множестве можно числа складывать, но не всегда вычитать, т.е. выполнять обратную операцию сложению.

Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми — одна из главных причин расширения понятия числа. Рассмотрим уравнение вида а + х = в. Для его разрешимости положительных чисел недостаточно и приходится вводить отрицательные числа и нуль.

б) множество целых чисел Z={…,-2;-1;0;1;2;…}, целых неотрицательных чисел Zo={0,1,2, …}; На данном множестве можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения, но не всегда деление, т.е. выполнять обратную операцию умножению. Это значит, что для решения уравнения ax = b (a≠0) недостаточно целых чисел и приходится вводить дробные числа.

в) множество рациональных чисел ;

На множестве рациональных чисел разрешимы уравнения вида ax = b (a≠0), однако уравнение x2 = 2 не имеет рациональных корней. Еще в глубокой древности, задолго до появления отрицательных чисел, которые стали рассматриваться в середине прошлого тысячелетия, было установлено, что отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не является рациональным числом. Это привело к тому, что появилась необходимость введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел.

г) множество действительных чисел R. В области действительных чисел стало возможным решать квадратные уравнения. Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, уравнение x2 +1 = 0 не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида x2 + a2 = 0 имели решения.

Мотивация учебной деятельности студентов.

 Краткие исторические сведения. Первые упоминания о комплексных числах имеются в работах итальянского математика Джероламо Кардано (1501-1576), термин «комплексные числа» ввёл немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). На рубеже XVIII-XIX вв. комплексным числам было дано геометрическое истолкование. В начале XIX в. была создана теория функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной прикладной математике. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, в теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования и т.д.

III.  Восприятие учебного материала и осознание его студентами.

1. Решим примеры, приводящие к понятию комплексных чисел:

а) ;

б) ;

в) .

2.Определение комплексного числа.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Корень уравнения x2 + 1 = 0 или x2 = -1 называется мнимой единицей и обозначается буквой i.

Таким образом, символ i удовлетворяет условию i2 = -1.

Комплексным числом называется выражение вида a +bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.

Число а называется действительной частью комплексного числа, а число bi – мнимой частью. Знак «+» здесь надо понимать не как знак сложения, а как некий соединительный знак.

Комплексное число часто обозначают одной буквой z. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

         Запись комплексного числа в виде z = a + bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i называются равными только тогда , когда a1=a2 и b1=b2, т.е. когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.

Комплексное число z = 0+0i называется нулём и обозначается 0; комплексное число    

z= a + 0i отождествляется с действительным числом  а, т.е. a + 0i = a; комплексное число z = 0 +bi называется чисто мнимым и обозначается bi, т.е. 0 + bi = bi.

Число 0 является единственным числом, которое одновременно действительное и чисто мнимое.

Комплексные числа  вида a + bi и a – bi называются сопряжёнными.

3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Сложение комплексных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Например,    

Произведением двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2+ b2i называется комплексное число z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i. 

Например,    

Произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно сумме квадратов действительной части и коэффициента его мнимой части, т.е.  Произведение комплексных чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности

Пример1  Разложить на множители:

        а)

б)

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; Например,   

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению.

Правила вычитания и деления комплексных чисел z2 = a2 + b2i и z1 = a1 + b1 определяются формулами

z2 / z1 = (a1a2 + b1b2) / (a21 + b21) + (a1b2 – a2b1) / (a21 + b21),

где a1 + b1i ≠ 0 + 0i.

Формулы, определяющие правила действий над комплексными числами в алгебраической форме, не нуждаются в запоминании.

Формулы суммы, разности и произведения комплексных чисел получаются автоматически, если формально выполнить соответствующие действия над двучленами

a1 + b1i и a2 + b2i и заменить i2 на -1.

При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби

на число, сопряжённое знаменателю, т.е. на a1 – b1i. 

Например,      Ответ: 8 – i

Возведение комплексного числа в степень производится по формулам возведения двучлена в степень, но при этом надо учитывать, что:

i1 = i,       i4n+1 = i1 = i

i2 = -1,    i4n+2 = i2 = -1

i3 = -i,     i4n+3 = i3 = -i

i4 = 1,      i4n =1

Например, i24 = 1, i59 = i4*14+3 = i3 = -i, i42 = i4*10+2 = i2 = -1

Урок на тему «Комплексные числа»

Конспект урока

Предмет: математика

Тема: Определение комплексного числа. Основные понятия и определения.

Цели:

Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить учащихся с историей развития комплексных чисел, воспитывать

Развивающие: развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность при работе в группах.

Используемые технологии и методы: 1) дифференцированная технология, 2) личностно-ориентированная технология, 3) проблемный диалог, 4) групповая технология, 5) информационно- коммуникационные технологии, 6) информационно-иллюстративный метод, 7) технология практико-ориентированного обучения

Вид занятия: усвоение новых знаний.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Определение темы занятия и постановка целей.

  4. Изучение нового материала.

  5. Закрепление нового материала.

  6. Контроль и самопроверка знаний.

  7. Рефлексия.

  8. Домашнее задание.

Ход урока:

  1. Организационный момент.

Приветствие студентов, перекличка и отметка отсутствующих в журнале и рапортичке.

  1. Проверка домашнего задания.

Группа делится по два варианта, меняются тетрадями и сверяют правильность выполнения домашней работы, а один студент выносит решение на доску.

  1. Определение темы занятия и постановка целей.

«Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Джон фон Нейман

Скажите, а как вы понимаете данное высказывание?

Перед нами открывается новое множество чисел. Сформулируйте тему нашего занятия.

  1. После того как мы определили тему занятия, давайте послушаем краткую историю возникновения комплексных чисел. Выступает студент с сообщением (Приложение 1, примерный текст сообщения). Остальные делают записи в тетрадях.

После того как все прослушали сообщение выступающего, предлагается ответить на вопросы:

  1. В каком веке появилась необходимость извлечение квадратного корня из отрицательного числа?

  2. Кто ввел в обиход понятие «мнимые» числа?

  3. Кто изменил название «мнимые числа» на «комплексные»?

Разделимся на 4 группы.

Запишем в тетрадях:

Определение: комплексными числами называются числа вида а+вi, где а и в- действительные числа, а число i, определяемое равенством i²=-1, называется мнимой единицей.

Запись комплексного числа в виде z=a+bi, называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Определение: комплексное число a-bi называется комплексно-сопряженным с числом a+bi и обозначается =

Определение: Модулем комплексного числа z=a+bi, называется число

Правило вычитания:

Придумайте пример к этому правилу (задание 1 группе)

(4+2i)-(1+5i)=3-3i

Правило сложения:

Придумайте пример к этому правилу (задание 2 группе)

(3+5i)+(6+3i)=9+8i

Правило умножения:

Придумайте пример к этому правилу (задание 3 группе) (2+5i)*(4+2i)=8+4i+20i+10i²=8+24i-10=-2+24i

Правило деления:

Придумайте пример к этому правилу (задание 4 группе)

Результаты выносят представители групп на доску, а остальные записывают в тетрадях. Все рассаживаются по своим местам.

Теперь разберем еще один пример:

Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

9+2ix+4iy=10i+5x-6y

9+(2x+4y)i=5x-6y+10i

Решаем методом Крамера:

∆х=96

∆у=32

х=3, у=1

Решить самостоятельно на оценку (первые 3 человека)

  1. 2ix+3iy+17=3x+2y+18i

  2. 5x-2y+(x+y)i=4+5i

  1. Тренировочные упражнения №1 (Приложение 2).

Выполняется у доски, желающие делают самостоятельно на оценку, в конце пары сдаются тетради на проверку.

  1. Раздаются карточки с заданиями для самостоятельной работы. 6 вариантов (Приложение 3)

  2. О каком множестве чисел вы сегодня узнали?

Кто ввел понятие «комплексные числа»?

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

  1. Домашнее задание.

  1. Найти модуль комплексного числа:

  2. Решить уравнение: (12+2i)+z=-14+2i

  3. Выполнить деление:

Приложение 1.

Примерное сообщение студента

История развития числа уходит корнями в древние времена. В VIII в. Ученые знали, что у положительного числа существует два квадратных корня: один-положительное число, другой-отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.

В XVI в. В связи с изучением решений кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В 1545 г. итальянский математик Дж. Карнадо (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения, для которой понадобились числа новой природы, которые он назвал «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными.

Однако, уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р.Декарт, а обозначать буквой i предложил в 1777 г. Л.Эйлер. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков». В этой работе Гаусс заменил название «мнимых чисел» на комплексные и окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа как точки координатной плоскости. Позднее комплексные числа также стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости.

Так же значительный вклад в развитие теории функций комплексной переменной внести видные отечественные математики М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Н. Боголюбов и др.

Приложение 2.

Тренировочные упражнения

  1. Найти действительные числа х и у, если:

  1. 6х+3уi=4+2i

  2. х-3уi=-5-i

  3. х-(4-у)i=-i

  4. х-(х+у)i=3+2i

  5. (х+у)+(х-у)i=8+2i

  1. Найти сумму комплексных чисел:

  1. (1+i)+(-1-i)

  2. (-2i)+()

  3. (-4+3i)+(4-3i)

  1. Найти произведение комплексных чисел:

  1. (-5+i)(-6-3)

  2. (5-3i)(2-5i)

  3. (4+7i)(2-i)

  1. Найти разность комплексных чисел:

1)

2) ()-(2)

3) (7+2i)-(3+2i)

4) (4+i)-(-5+i)

5) (4+3i)-(4-3)

5. Найти частное двух комплексных чисел:

1)

2)

3)

4)

5)

6. Найти модуль и главное значение аргумента:

1) z=i 2) z=-5i 3) z=-1+i 4) z=2-2i 5) z=3 6) z=-3 7) z=3i 8) z=-3i

9) z=-2-2i 10) z=1+i 11) z=1-i 12) z=i 13) z=-1+i

14) z=i

7. Решить уравнение:

1) (2+3i)+z=-4+i 2) (-1+2i)+z=5 -i

3) 4) 6-i=z+(5-)i

Приложение 3.

Самостоятельная работа

Вариант № 1

  1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

  1. Упростить выражение:

  1. (a+2bi)+(a-3bi)

  2. (2a+3bi)(2a-3bi)

  1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 2

  1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

  1. Упростить выражение:

  1. (4a+5bi)+(-3a-5bi)

  2. (2a+3bi)(3b+2ai)

  1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 3

  1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

  1. Упростить выражение:

  1. (a+5bi) (-3a-bi)

  2. (4a+3bi)(5b+ai)

  1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 4

  1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

  1. Упростить выражение:

  1. (4-3i)-(1+2i)(2-3i)

  2. (1+i)(2-3i)

  1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 5

  1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

  1. Упростить выражение:

  1. (1-2i)- (5+7i)(2-i)

  2. (-4+2i)(5+i)

  1. Найти частное комплексных чисел:

Вариант № 6

  1. Даны комплексные числа: .

Вычислить: а) , б), в), г) , д), е)

  1. Упростить выражение:

  1. (2-i)(2+i)-(3-2i)+7

  2. (1+5i)(2-i)

  1. Найти частное комплексных чисел:

Урок 38. определение комплексного числа. действия с комплексными числами — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Глоссарий по теме

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z,

что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = —1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 — b1b2) + (a1b2 — a2b1) i.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 =z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1 a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2 z1.

2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1 (z2z3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

1 способ.

2 способ.

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i3 = i2 i = -i,

i4 = i2 i2 = 1,

i5 = i4 i = i,

i6 = i4 i2 = -1,

i7 = i5 i2 = -i,

i8 = i6 i2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4)4⋅ i = 1 · i = i.

i 23 = i 4⋅ 5+3 = (i 4)5⋅ i3 = 1 · i3 = — i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 42⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x2 – 6x + 13 = 0;    б) 9x2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то 
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, 
D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

  1. 7 +4i
  2. 7 — 4i
  3. 6 — 3i
  4. 6 + 3i

Решение: 2 + 3i + 5 — 7i = (2 + 5) + (3 — 7)i = 7 — 4i.

Можем сделать вывод, что верный ответ

2. 7 — 4i.

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно частное: (5 + 3i):(1 — 2i)=______

Решение:

Ответ: -0.2 + 2.6i

Комплексные числа и комплексные уравнения

Математические упражнения и математические задачи: комплексные числа и комплексные уравнения

Упростите сложные выражения:

Найдите абсолютное значение комплексного числа:

Найдите сумму, разность и произведение комплексных чисел x и y :

Найдите частное комплексных чисел:

Запишите данное комплексное число в тригонометрической форме:

Запишите данное комплексное число в алгебраической форме:

Найдите степень комплексного числа:

Решите сложные уравнения:

Вас также может заинтересовать:

.

Комплексные числа и комплексные уравнения

Ответы на математические упражнения и математические задачи: комплексные числа и комплексные уравнения

Показать ответ на упражнение:

Возможно, вас также заинтересует:

.
0 0 vote
Article Rating
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x