Открытый урок по математике «Путешествие в сказку» (2 класс)
Loading…
Открытый урок по математике «Путешествие в сказку» (2 класс)
ноябрь
Тема: Закрепление изученного. Решение задач.
ЦЕЛИ УРОКА:
* учить решать задачи на нахождение суммы, совершенствовать вычислительные навыки и умение сравнивать;:
* развивать познавательный интерес к предмету, логическое мышление, внимание; устную речь учащихся;
* воспитывать аккуратность, усидчивость.
ОБОРУДОВАНИЕ: презентация, карточки с заданиями, учебник, рабочая тетрадь.
ХОД УРОКА:
I Организационный момент: (цель: дать положительный настрой на урок)
— Ребята, к нам на урок пришли гости, давайте с ними поздороваемся.
Всем, всем добрый день!
Прочь с дороги наша лень!
Не мешай трудиться,
Не мешай учиться!
— Садитесь, ребята.
Проверьте, всё ли у вас готово? Начинаем наш урок.
— Я тетрадь свою открою
И наклонно положу.
Я друзья от вас не скрою –
Ручку я вот так держу.
Сяду прямо, не согнусь.
За работу я возьмусь.
Открываем тетради, записываем число, классная работа.
Прочитайте девиз нашего урока:
С мастерством готовым люди не родятся, а добытым мастерством гордятся.
-Как вы понимаете эти слова?
-Готовы ли вы добывать новые знания, чтобы потом можно было гордиться своим мастерством? Тогда начнём.
II Минутка чистописания.
Повторение нумерации
На доске ряд чисел: 10 21 32 43 54 67 76 87 98
-Прочитайте числа. По какому принципу построен данный ряд?
-Найди «лишнее» число. (67) Докажи. Чем можно заменить?
-Дайте характеристику. Пропишите всю строку данное число, правильно записывая в клетке каждую цифру.
III Актуализация знаний
- Устный счёт.
-Сегодня мы продолжаем увлекательное путешествие по загадочной и великой стране «Математика». Вам предстоит думать, вычислять, соревноваться.
-Начнём урок с разминки, но не физической, а математической.
-А куда мы отправимся, вы определите сами. (решают, записывают ответ в тетради, вывешивают карточки на доске)
- Составление слова
—Если это число уменьшить на 50, то получится 27. (77)
—Вычислите сумму 68 и 30. (98)
—К какому числу прибавили 10 и получили 25. (15)
—Найдите разность 52 и 40. (12)
—К разности 45 и 5 прибавить 8. (48)
—Из суммы 8 и 2 вычти 6. (4)
-Расположите в порядке уменьшения и переверните карточки.
98 77 48 15 12 4
С к а з к а
-Мы отправляемся в сказку. А в какую мы попадём, вы узнаете, если отгадаете загадку.
Уплетая калачи,
Ехал парень на печи.
Прокатился по деревне
И женился на царевне. (Картинка Емеля и печка)
-Да, мы попали в сказку «По щучьему велению».
-На чём путешествовал Емеля?
-Мы тоже будем путешествовать на печке. Чтобы она задымилась, загорелся в ней огонь, что нужно сделать? Правильно, давайте затопим печь, а для этого нарубим дрова и сложим их в поленницу.
- Игра «Круговые примеры» (поленья с примерами)
46+30 76-6 70-10 60+24 84+6 90-40 50-4
-На каждом полене примеры и их нужно решить. (Поленья висят на доске, ученик выходит, решает пример и складывает в поленницу в нужном порядке.)
-Молодцы, мы растопили печь, теперь отправляемся в путь, в царство царевны Несмеяны.
(Картинка Царевны Несмеяны)
-Ой, кто это? (Баба Яга)
-Баба Яга махнула метлой,
Кочки вдруг появились кругом.
-Она не даёт нам проехать, повсюду сделала большие кочки, а на них вопросы.
-Как называются числа при сложении?
-Как найти 1 слагаемое?
-Из 1 рубля вычти 20 копеек.
-Назови самое большое двузначное число.
-Сколько см в 1 дм?
-Как называются числа при вычитании?
-Что больше 50 см или 5 дм?
-Чтобы проехать дальше, нам нужно продолжить нашу математическую разминку и выполнить некоторые задания.
-Путь открыт. Оцените себя на полях за работу в устном счёте.
Вы, наверное, устали?
Ну, тогда, все дружно встали!
Наш Емеля потянулся, раз нагнулся, два нагнулся.
Руки в стороны развёл, щуку, видно, не нашёл.
Чтобы щуку нам достать, надо на носочки встать.
IV Самоопределение к деятельности.
-Вот наша печка к речке подходит.
Где же здесь плот? Его не находим.
Чтобы на речку плот опустить,
Надо задание скорее решить.
-На перевёрнутых плотах данные для задачи.
-Царевна Несмеяна любит фрукты. В вазе у неё 4 яблока и 3 груши. Сколько слив в вазе? (Задачу решить нельзя, не хватает данных)
-А если я изменю вопрос? В вазе у неё 4 яблока и 3 груши. Сколько яблок в вазе? (Ответ есть в условии задачи, решать не надо)
-Поставьте вопросы, чтобы задача решалась так: 4+3, 4-3.
-Что сегодня мы будем делать на уроке? (Решать задачи)
V Работа по теме урока.
-Какая из записей 4-3 или 4+3 — будет решением следующей задачи?
В вазе 4 яблока и 3 груши, а слив столько, сколько яблок и груш вместе. Сколько слив в вазе?
-О чём говорится в задаче?
-Что говорится о яблоках? О грушах? О сливах? Что это значит? (надо узнать сколько всего яблок и груш)
-Сколько слив? Как получили 7?
- Работа по учебнику.
С. 63, № 1 (у доски с объяснением)
Оцените себя на полях, поняли ли вы как решаются такие задачи.
VI Физминутка для глаз.
Рисуй восьмёрку вертикально
Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно
Ты вдоль по линиям веди
И на бочок её клади.
Теперь следи горизонтально
И в центре ты остановись.
Зажмурься крепко, не ленись.
Глаза открываем мы, наконец,
Зарядка окончена. Ты молодец!
VII Закрепление изученного материала.
- Решение примеров.
-Вот мы и к царству уже подошли,
Но Несмеяну никак не нашли.
Наплакала речку, наплакала море
Давайте поможем царскому горю.
-Чтобы Несмеяна не плакала, выполним задание, написанное на слезинках.
1) Из числа 80 вычесть сумму чисел 53 и 7
Из числа 90 вычесть разность чисел 84 и 4
К числу 50 прибавить сумму чисел 20 и 14
К числу 27 прибавить разность чисел 48 и 8
2) 80 – (53 + 7) 50 + (20 + 14)
90 – (84 – 4) 27 + (48 – 8)
-Выполним самопроверку.
-Прочитайте пример, ответ которого самое маленькое двузначное число. 10, 2 пр.
-Прочитайте пример, ответ которого на 1 больше, чем 83. 84, 3 пр.
-Прочитайте пример, в ответе которого десятков на 2 больше, чем единиц. 20, 1 пр.
-Прочитайте пример, ответ которого является предыдущим числом для числа 68. 67, 4 пр.
Сделайте самопроверку и оцените свою работу на полях.
- Конструирование. Работа в парах.
-Емеля подарил Царевне Несмеяне подарок. Он был упакован в красивую коробку. Какой длины нужно взять ленту, чтобы украсить по краям крышку это коробки.
-А в коробке головоломка «Танграм», чтобы Царевна не скучала.
VIII Подведение итогов.
-Что узнали на уроке?
-Чему научились? За что можешь похвалить себя?
-Какие задания были трудными? Над чем надо поработать?
-И в конце возвращаемся к нашему девизу.
С мастерством готовым люди не родятся, а добытым мастерством гордятся.
-Можем мы гордиться собой?
-Чему научились на уроке, чтобы попасть в замок Царевны Несмеяны.
IX Домашнее задание.
-Царевна Несмеяна и Емеля были рады встретиться с вами. Большое спасибо всем вам, ребята.
Все так решали, все отвечали
Сколько препятствий смогли вы пройти.
На этом сказке конец, а кто слушал молодец.
с. 63, № 2, 4
X Рефлексия
-Оцените себя по нашей лестнице достижений, Всё ли у вас получилось, к чему надо стремиться?
Довольны ли вы своей работой?
Резерв с. 63 на полях
1) Из числа 80 вычесть сумму чисел 53 и 7
Из числа 90 вычесть разность чисел 84 и 4
К числу 50 прибавить сумму чисел 20 и 14
К числу 27 прибавить разность чисел 48 и 8
2) 80 – (53 + 7) 50 + (20 + 14)
90 – (84 – 4) 27 + (48 – 8)
Сальникова Юлия
|
|
Программа внеурочной деятельности
Программа внеурочной деятельности«Расчетно-конструкторское бюро»
О.А. Захарова
Основная цель программы — изучение окружающего мира математическими средствами.
Форма организации внеурочной деятельности — факультатив. Программа внеурочной деятельности «Расчетно-конструкторское бюро» разработана на основе тетрадей для самостоятельной работы № 3 (учебный предмет «математика», 2-4 классы).
Во 2-м классе учащимся предлагается принять участие в работе Расчётно-конструкторского бюро, организованного при научном клубе младших школьников «Мы и окружающий мир». Бюро занимается изучением вопросов, ответы на которые можно получить при помощи математических исследований и моделирования.
Участвуя в работе бюро, школьники выполняют расчёты, строят схемы, чертежи и карты, конструируют модели из бумаги и пластилина.
Практические задачи являются средством и условием формирования способности детей применять полученные на уроках по математике знания и умения в ситуациях, отличных от тех, в которых происходило их становление.
В таблице дана примерная программа факультативных занятий, которые служат продолжением уроков по математике и окружающему миру и предусматривают участие всех обучающихся.
Программа факультативных занятий
| Темы практических задач | Темы по математике и окружающему миру | Страницы тетради |
| 2 класс | ||
| Как найти сокровища? (решение задачи позволяет ученику стать сотрудником Расчетно-конструкторского бюро) | Чтение и заполнение строк, столбцов таблицы. Предоставление информации в таблице. Использование таблицы для формулировки задания. Географическая карта и план местности. Условные обозначения плана. Ориентирование на местности (пропедевтика). | 4 — 7 |
| Далеко ли до Солнца? | «Круглые» двузначные числа. Сложение и вычитание «круглых» двузначных чисел. Числовые равенства и неравенства. Числовые выражения. Краткая запись задачи. Круговая схема. Планеты и звёзды. | 11–13 |
| Солнце — обыкновенный жёлтый карлик (начало) | Сложение (вычитание) двузначных чисел и однозначных чисел. Прямоугольник и квадрат. Планеты и звёзды. | 14–16 |
| Солнце —обыкновенный жёлтый карлик (окончание) | Сравнение двузначных чисел. Разностное сравнение. Задачи на разностное сравнение. Сложение (вычитание) двузначных чисел. Сотня. Соотношение единиц измерения: дм – м; кг – ц; см – м. Планеты и звёзды. | 17 — 18 |
| Спутники планет (начало) | Действие умножения. Таблица умножения на 1, 2, 3 и 4. Периметр прямоугольника и квадрата. Планеты и звёзды. | 19–20 |
| Спутники планет (окончание) | Таблица умножения на 5, 6, 7, 8 и 9. Длина ломаной. Угол. Виды углов. Углы многоугольника. Планеты и звёзды. | 21–22 |
| Кто строит дома на воде? | «Круглые» сотни. Сложение (вычитание) «круглых» сотен. Сравнение трёхзначных чисел. Составные задачи. Запись решения по действиям и в виде одного выражения. Живая природа Земли. | 23–24 |
| Кто построил это гнездо? | Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Запись и способ сложения (вычитания) столбиком. Вычитание суммы из суммы. Живая природа Земли. | 25–26 |
| Едят ли птицы сладкое? | Известное и неизвестное. Уравнение. Уравнения на сложение и вычитание. Живая природа Земли. | 27–29 |
| Почему яйцу нельзя переохлаждаться? | Деление. Доля. Уменьшение в несколько раз. Живая природа Земли. | 30–32 |
| Московский Кремль (начало) | Время и части суток. Единицы измерения времени. Римские цифры. Числовой луч и натуральный ряд чисел. Родная страна — Россия. | 33–35 |
| Московский Кремль (окончание) | Данное и искомое. Обратная задача. Проверка решения. Геометрические построения. Родная страна — Россия. | 36-37 |
| 3 класс | ||
| Что находится внутри Земли? | Трёхзначные числа. Запись сложения и вычитания чисел столбиком. Умножение и деление. Периметр четырёхугольника. Окружность и круг. Планета, на которой мы живём. | 7–8 |
| Помогите Пете Семёнову | Изображение куба. Связь умножения и деления. Табличные случаи деления. | 9–10 |
| Много ли на Земле льда? (начало) | Класс тысяч. Название четырёхзначных чисел. Сравнение четырёхзначных чисел. Неживая природа (три состояния воды). | 11–13 |
| Много ли на Земле льда? (окончание) | Сравнение величин. Алгоритм сложения и вычитания столбиком. Таблица для записи условия задачи. Неживая природа (три состояния воды). | 14–15 |
| Где хранится пресная вода? | Умножение суммы на число. Группировка множителей. Умножение числа на произведение. Запись умножения столбиком. Неживая природа (три состояния воды). | 16–18 |
| «Многоэтажная» атмосфера Земли | Кратное сравнение чисел и величин. Числовой луч. Задачи на кратное сравнение. Диаграмма для записи условия задачи. Значение воздуха на Земле. | 19–20 |
| Облака | Сравнение углов. Углы треугольника. Стороны треугольника. Неживая природа. | 21–22 |
| Сказочный мир горных пещер | Умножение на число 10. Умножение числа на сумму. Умножение на двузначное число. Запись умножения столбиком. Горные породы. | 23–25 |
| Жизнь под Землёй | Частные случаи деления (на число 1, числа 0, на число 0). Деление суммы (разности) на число. Горные породы | 26–27 |
| Природное сообщество — аквариум | Сравнение и измерение площади многоугольника. Умножение на число 100 и число 1000. Соотношение между различными единицами измерения площади. Вычисление площади прямоугольника. Природные сообщества. | 28–29 |
| Озеро Байкал | Задачи с недостающими данными. Задачи с избыточными данными. Выбор рационального пути решения. Водоем | 30–31 |
| Стены Древнего Кремля | Деление на число 10, число 100 и число 1000. Деление на однозначное число. Деление на двузначное число. Наша страна — Россия | 32–34 |
| 4 класс | ||
| Путь «Из варяг в греки» | Чертёж как способ краткой записи задачи. Задачи с заданным результатом разностного сравнения величин. Задачи с заданным результатом кратного сравнения величин. Алгоритм умножения столбиком. История Отечества. | 7–9 |
| Славянские цифры | Класс миллионов. Постоянная и переменная величины. Буквенное выражение. Значение буквенного выражения. История Отечества. | 9–12 |
| Лесные богатства России | Цена. Задача определения стоимости. Задача определения количества. Родная страна — Россия. | 13–15 |
| Земли, не освоенные человеком | Деление с остатком. Деление нацело. Запись деления столбиком. Охрана природы. | 16–18 |
| Дневник путешествия по Черноморскому побережью | Скорость. Задача на определение расстояния. Задача на определение времени. Родная страна – Россия. | 19–21 |
| Сколько соли в солёной воде? | Вместимость. Объём. Единицы измерения объема. | 22–23 |
| Трудолюбивые пчёлы | Производительность. Задача на определение времени работы. Задача на определение объема работы. Насекомые. | 24-25 |
| Быстро ли растет человек? | Деление на однозначное и двузначное числа столбиком. Алгоритм деления столбиком. Человек – часть природы. | 26 |
| Волосы | Сложение и вычитание величин. Умножение величины и числа. Деление величины на число. Нахождение части от величины и величины по её части. Человек – часть природы. | 27–28 |
| Скорость, с которой течет кровь | Когда время движения постоянно. Когда длина пройденного пути постоянна. Движение в одном направлении. Человек – часть природы. | 29 |
| «Производительность» сердца | Когда время работы постоянно. Когда объем выполненной работы постоянен. Производительность при совместной работе. Время совместной работы. Человек – часть природы. | 30–31 |
| Сколько стоят деньги? | Когда количество постоянно. Когда стоимость постоянна. Цена набора товаров. Человек и общество. | 32-33 |
Материально-техническое обеспечение
2 класс
Захарова О.А. Математика в практических заданиях. 2 класс. Тетрадь для самостоятельной работы № 3.– М.: Академкнига/Учебник.
Захарова О.А. Практические задачи по математике. 2 класс. Тетрадь. – М.:Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика. 2 класс. Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика. 2 класс. Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика: 2 класс: методическое пособие для учителя. – М. : Академкнига/Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А. Окружающий мир. 2 класс: Учебник. Часть 1 – М.: Академкнига/Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А. Окружающий мир. 2 класс: Учебник. Часть 2 – М.: Академкнига/Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А. Окружающий мир. 2 класс: Хрестоматия. – М.: Академкнига/Учебник.
3 класс
Захарова О.А. Математика в практических заданиях. 3 класс. Тетрадь для самостоятельной работы № 3.– М.: Академкнига/Учебник.
Захарова О.А. Практические задачи по математике. 3 класс. Тетрадь. – М.:Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика. 3 класс. Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика. 3 класс. Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика: 3 класс: методическое пособие для учителя. – М. : Академкнига/Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А., Царева Л.А. Окружающий мир. 3 класс: Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/ Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А., Царева Л.А. Окружающий мир. 3 класс: Учебник. Часть 2. – М.: Академкнига/ Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А. Окружающий мир. 3 класс: Хрестоматия. – М.: Академкнига/Учебник.
4 класс
Захарова О.А. Математика в практических заданиях.4 класс. Тетрадь для самостоятельной работы № 3.– М.: Академкнига/Учебник.
Захарова О.А. Практические задачи по математике. 4 класс. Тетрадь. – М.:Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика. 4 класс. Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика. 4 класс. Учебник. Часть 1. – М.: Академкнига/Учебник.
Чекин А.Л. Математика: 4 класс: методическое пособие для учителя. – М.: Академкнига/Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А. Окружающий мир. 4 класс: Учебник. Часть 1 – М.: Академкнига/Учебник.
Федотова О.Н., Трафимова Г.В., Трафимов С.А. Окружающий мир. 4 класс: Учебник. Часть 2 – М.: Академкнига/Учебник.
Интернет; дополнительная литература.
Математическая статистика — основы | ЮКлэва
Мода и медиана
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:
Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?
Все верно, это число \( \displaystyle 181\), так как два игрока имеют рост \( \displaystyle 181\) см; рост же остальных игроков не повторяется.
Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?
Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») – отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.
Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).
Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.
Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?
Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!
Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).
Вот, что у меня получилось:
Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.
Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?
Все верно – игроков \( \displaystyle 11\), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.
Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:
Ну вот, чисел у нас \( \displaystyle 11\), значит, по краям остается по пять чисел, а рост \( \displaystyle 183\) см будет медианой в нашей выборке.
Не так уж и сложно, правда?
ПНШ 3 класс. Математика. Учебник № 1, с. 58
Поупражняемся в вычислении и сравнении величинОтветы к с. 58200. По данному уравнению составь задачу так, чтобы в ответе речь шла о граммах.
460 + х = 500
В живой уголок школьники принесли кролика, который весил 460 г. Через месяц его вес составил 500 г. На сколько грамм поправился кролик за месяц?
460 + х = 500
х = 500 – 460
х = 40
О т в е т: за месяц кролик поправился на 40 г.
201. По данному уравнению составь задачу так, чтобы в ответе речь шла о центнерах.
х – 15 = 85
На складе хранилась свекла. После того, как со склада в магазин забрали 15 ц свеклы, осталось 85 ц свеклы. Сколько свеклы было на складе сначала?
х – 15 = 85
х = 85 + 15
х = 100
О т в е т: на складе было 100 ц свеклы.
202. По данному уравнению составь задачу так, чтобы в ответе речь шла о тоннах.
140 – х = 105
На элеваторе хранилось 140 т пшеницы. После того, как несколько тонн переработали в муку, осталось 105 т пшеницы. Сколько пшеницы переработали в муку?
140 – х = 105
х = 140 – 105
х = 35
О т в е т: в муку переработали 35 т пшеницы.
203. Составь задачу по следующей схеме.
Реши составленную задачу. Вычисли и запиши ответ.
В школьную столовую привезли 3 кг говядины и 700 г баранины. Сколько всего мяса привезли в столовую?
3 кг + 700 г = 3 кг 700 г
О т в е т: всего в столовую привезли 3 кг 700 г мяса.
204. Прочитай задачу. Рассмотри круговые схемы на следующей странице.
В первый день похода туристы прошли 30 км, а во второй – на 5 км меньше. Сколько километров туристы прошли за эти два дня?
Какая из следующих круговых схем показывает, что 30 км нужно уменьшить на 5 км? По этой схеме запиши первое действие решения данной задачи. На какое промежуточное требование даёт ответ первое действие решения данной задачи?
Какая из следующих круговых схем показывает, что нужно сложить 30 км и 25 км? По этой схеме запиши второе действие решения данной задачи. Запиши ответ данной задачи.
На первом рисунке круговая схема справа показывает, что из 30 км нужно вычесть 5 км.
30 – 5 = 25 (км) – прошли туристы во второй день
На втором рисунке круговая схема справа показывает, что нужно сложить 30 км и 25 км.
30 + 25 = 55 (км)
О т в е т: за да дня туристы прошли 55 км.
Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 1. Чекин А.Л. 2013 г.
Математика. 3 класс. Чекин А.Л.
4.7 / 5 ( 3 голоса )
Прунинг нейронных сетей (фитнес бывает полезен не только людям) / Хабр
Всем привет! В данном посте я хотел бы рассказать про весьма интересную и важную деятельность в области глубокого обучения как прореживание (прунинг) нейронных сетей. На просторах сети есть неплохие материалы по данной теме, например, статья на Хабре трехлетней давности.
Здесь будет приведен общий обзор основных методик прореживания нейронных сетей, разработанных человечеством в его (почти) безграничной изобретательности, а в последующем я планирую рассмотреть некоторые подходы более подробно. Вообще говоря, идей на самом деле существует гораздо больше, чем будет рассмотрено ниже, здесь я приведу самые популярные подходы в подробностях, пропорциональных пониманию автором конретного метода.
Поехали!
Определение и мотивация
Прунинг нейронных сетей — это метод сжатия (уменьшения расхода памяти и вычислительной сложности) сети за счет устранения части параметров в предобученной модели.
Желание облегчить и упростить модель достаточно естественно, в каком-то смысле. Современные успехи и бурное развитие в сфере глубокого обучения обусловлено не только разработкой огромного количества новых архитектур и вовлченностью большого числа людей в данной области, но и сильно возросшими вычислительными мощностями (власть, которая и не снилась моему отцу). Увесистые нейронные сети с миллионнами (миллиардами) параметров стало возможно обучать благодаря массовому распространению высокопараллельных вычислитей — GPU, TPU и т.д, которые еще можно обьединять в целые кластера.
Тем не менее, во многих приложениях и обыденных ситуациях возможности запустить сеть на мощной карточке с тысячей CUDA ядер нет. В качестве простого примера приведу использование нейронных сетей на смартфонах для задач интеллектуаьной сьемки и обработки фото и звука. Само собой, впихнуть в смартфон Нвидиевскую V100 — так себе вариант, ибо такое устройство будет не только весить не меньше 1.5 кг, но еще потреблять 300 Вт, для чего придется с собой вдобавок таскать блок питания. В общем, так себе удовольствие.
Так примерно бы выглядел телефон с V100В то же время, как известно, нейронные сети перепараметризованы — многие параметры в сети излишни и мало влияют на конечный выход нейронной сети. И отсюда возникает идея — взять хорошо обученную модель и устранить в ней как можно больше весов и операций, при этом не потеряв существенно в качестве. Более того, при небольшом прореживании обычно наблюдается повышение качества на тестовой выборке. Предположительно, ликвидация лишних параметров убирает «шумные веса» из модели и разрушает случайные закономерности, которые сеть обнаруживает на обучающей выборке, но не являющиеся характерным для всего распределения данных в целом.
В то же время, как известно, нейронные сети перепараметризованы — многие параметры в сети излишни и мало влияют на конечный выход нейронной сети. И отсюда возникает идея — взять хорошо обученную модель и устранить в ней как можно больше весов и операций, при этом не потеряв существенно в качестве. Более того, при небольшом прореживании обычно наблюдается повышение качества на тестовой выборке. Предположительно, ликвидация лишних параметров убирает «шумные веса» из модели и разрушает случайные закономерности, которые сеть обнаруживает на обучающей выборке, но не являющиеся характерным для всего распределения данных в целом.
Типичное поведение качества на тестовой выборке для прореженных моделей в зависимости от степени прореживания. (ResNet50 на ImageNet, топ-1 точность)Данная идея весьма не нова, и ведет начало не от Адама и Евы, но в достаточно далекие времена (конец 80-х — начало 90-х), когда число параметров в нейронных сетях не превышало нескольких тысяч и глубокое обучение было уделом сравнительно узкой группы энтузиастов.
Классификация
Во-первых, методы прореживания сети можно разделить на две большие категории:
Прунинг на уровне модели.
Веса из сети устраняются окончательно и бесповоротно. Для каждого примера из обучающей или тестовой выборке используются те же веса при инференсе (inference).
Эфемерное прореживание (Ephemeral sparsity).
Веса из сети не убираются, но при каждом проходе в вычислении функции используется только часть параметров модели или активаций с прошлых слоев. В качестве известных примеров можно привести Dropout, где часть случайно выбранных весов зануляется, (да-да, целью дропаута явялется регуляризация, а не прореживание, но тем не менее) и Switch Transformer.
В этом обзоре я буду рассматривать первую категорию. Кроме того, прунинг можно разделить на:
Неструктурированный прунинг.
Прореживание модели проводится на уровне отдельных весов. Полученная маска активных весов, вообще говоря, имеет хаотическую структуру.
Структурированный прунинг.
Прореживание проводится на уровне целых сверточных фильтров или даже слоев в сети. Кроме того, можно прореживать веса не по отдельности а блоками, организованными по соседству.
Первый подход позволяет обычно добиться большего количества зануленных весов, но при этом дает меньше преимуществ в реализации на реальном железе, так как вычисления обычно паралеллизованны и проводятся на уровне векторов и матриц. Специальные структуры данных для разреженных матриц (sparse matrix), такие как CSR (compressed sparse row), CSR (compressed sparse column) и COO (coordinate offset) дают преимущество только если матрица сильно разреженная (не более 10% ненулевых элементов).
Иллюстрация, показывающая разницу между структурированным и неструтурированным прунингом.Далее, методы можно разделить на
Прореживающее модель глобально
Для прореживания используется информация со всех слоев сети.
Прореживающие послойно
Прореживание слоев проводится независимо.
Обучение прореженной модели
Существует несколько стратегий по прореживанию моделей:
Однократное прореживание (One-shot pruning).
Берется предварительно обученная модель и в определенный момент устраняется некоторая часть весов согласно алгоритму прореживания. Можно на этом этапе оставить все как есть, но обыкновенно продолжают обучение на протяжении еще некоторого количества эпох, тем более, что при использовании более грубых методов, вроде magnitude-based, качество первоначально может заметно просесть и восстановиться до уровня близкого в исходной модели, только после оптимизации. При этом важно дождаться сходимости к оптимуму, так как если проредить еще не оптимальную модель, итоговое качество будет несколько хуже.
Итеративное прореживание
Модель прореживается постепенно. Через число шагов, определенных расписанием прореживания (pruning schedule), часть весов устраняется из модели, затем проводится дообучение модели. Данная процедура проводится некоторое количество раз до тех пор пока модель не достигнет требуемой разреженности. Здесь, как можно заметить, довольно большой простор для подбора гиперпараметров — сколько весов отбросить на данной итерации, сколько эпох обучать модель между каждой итерацией.
Обучение разреженной модели c самого начала
Кроме того, можно стартовать сразу с разреженной модели, а затем уже по ходу дела убирать наименее важные веса и заодно наращивать новые веса (которые до этого были обращены в нуль) на основе некоторого критерия. Достоинством данного подхода является возможность обучения моделей, которые в плотном виде (dense) не помещаются в память устройства.
К данным методам относятся SET, SNIP, RiGL, GraSP.
Различие между подходами показано на картинке ниже:
Какая из стратегий является лучшей — до сих пор на этот вопрос нет четкого ответа. Различные источники дают свидетельства в пользу того или иного метода на конкретных примерах.
Критерии отбрасывания весов
Data-free
Данные подходы не используют никакой информации о целевой функции и промежуточных активациях в нейронной сети.
Magnitude-based pruning
Одним из простейших и в то же самое время эффективных подходов является magnitude-based pruning, отбрасывающий веса с наименьшей абсолютной величиной . Перемножение матриц, операции свертки неизбежно содержат с себе операцию следующего вида (по повторяющимся индексам подразуемвается суммирование):
В предположении, что входы среднем имеют величину одного порядка, видим, что веса с наименьшей абсолютной величиной вносят наименьший вклад с сумму. Конечно, вообще говоря, это неправда, но при отсутствии дополнительных данных, довольно разумное предположение. Так сказать, дешево и сердито.
Magnitude-based pruning — один из самых первых методов прореживания сети, предложенный еще в конце 80-х.
Несмотря на простоту, данный метод отрабатывает довольно неплохо на практике, и позволяет до определенного предела отбрасывать веса без потери в качестве предсказаний. Из-за простоты реализации и дешевизны использования на текущий момент — это самый популярный способ прореживания. Дополнительные расходы при обучении сводятся к хранению в памяти масок прореживания весов и построения гистограммы весов раз в одну и нескольких эпох, поэтому этот метод применим и для больших нейронных сетей.
Тем не менее, когда сеть уже сильно разреженная такой подход убирает веса не всегда оптимально, и качество начинает проседать довольно существенно.
Data-driven
Кроме того, можно прореживать нейронную сеть в зависимости от чувствительности выходов к значению конкретного веса.
На основе дисперсии выходов нейрона
Если для конкретного нейрона выход меняется незначительно для различных входных данных, то можно просто взять и убрать данный нейрон, и его выход добавить в bias для последующих нейронов. Т.е если , то вполне естетвенно просто заменить нейрон на константу
На основе величины активации нейрона
В работе было предложено определять важность нейронов в зависимости от средних значений и дисперсии активаций нейронов на выборке. Идея подхода та же, что и в magnitude-based, но сравнение проводится для нейронов, а не весов, и здесь не делается предположения о примерном равенстве входных значений, которые домножаются на веса.
На основе взаимной корреляции между весами
Если в данном слое существуют сильно скореллированые нейроны, которые соединены с одними и теми же нейронами на следующем слое, то можно обьединить несколько нейронов в один, тем самым несколько уменьшив число операций.
Training-aware
Методы, основанные на разложении лосс-функции в ряд Тейлора (OBD, OBS)
К данному семейству методов относятся Optimal Brain Damage, предложенный Ле Куном (да-да, тем самым, который классифицировал MNIST) и Optimal Brain Surgeon.
Предположим, что имеющаяся в распоряжении обучающая выборка достаточно хорошо описывает распределении данных и модель находится в локальном оптимуме (возможно плохом) лосс функции или по крайней мере в окрестности. Кроме того, наложим нужные требования по гладкости, и тогда в окрестности точки минимума разложим функцию потерь до второго по весам:
Здесь — вектор сдвига от точки оптимума.
А — матрица Гессе, составленная из вторых производных функции потерь
В точке экстремума второй член зануляется, а матрица Гессе — положительно определена (полуопределена), иначе существует направление, двигаясь по которому можно уменьшить еще значение функции потерь. Далее ставится следующая задача — найти такой оптимальный сдвиг в пространстве весов, так что один из них в итоге обратится в ноль. Т.е:
Здесь — единичный вектор в направлении -веса.
Традиционно задача нахождения условного экстремума решается методом введения множителей Лагранжа, что и делают авторы в статье по OBS. Для каждого из весов считают изменение лосс-функции при движении, зануляющем какой либо из весов:
И среди всех весов выбираем такой, для которого рост функции потерь наименьший.
Сравнение различных принципов прунинга для фиксированной квадратичной функцииВ методе Ле Куна делается предположение, что матрица Гессе — диагональна, т.е:
И тогда критерий отбора сводится к нахождению весов с наименьшеним значением , при этом другие веса не изменяются.
То есть кроме абсолютной величины весов, мы учитываем кривизну повехности функции потерь. Заметим, что OBD сводится к magnitude-based прунингу, когда все равны.
Сравнение линий уровня лосс-функции для magnitude pruning, OBD, OBSОднако, как было замечено в работе по OBD, в действительности Гессиан существенно не диагонален — поэтому отбирает веса не оптимально. В своей работе авторы сравнили на различных искуственных бенчмарках два метода, и их метод отработал точнее. Заметим, что дело происходило в начале 90-х и возможности прогнать нейросеть на CIFAR-10, не говоря уже про ImageNet, у исследователей не было.
Сравнение OBS и OBD на задаче классификации, где данные сгенерированы из нормального распределенияНесмотря на хорошую теоретическую подоплеку, такой подход имеет несколько фундаментальных проблем и нюасов.
Во-первых — вычисление матрицы Гессе — очень дорогостоящая с вычислительной точки зрения и по памяти операция.
В случае, если проводить вычисление для всех пар весов
требуется память пропорциональная числу весов в квадрате Даже для сравнительно маленькой
MobileNet-V3c 2.5 миллионами параметров — это чисел, что даже вbfloat16дает 12 TB. Если вашего дядю не зовут Дженсен Хуанг или вам не досталась криптоферма по наследству, то такую матрицу банально не поместить в память системы GPU. А дляGPT-3и вовсе размер матрицы будет приближаться к количеству атомов во Вселенной (шутка).Кроме того, разложение в ряд Тейлора точно только в окрестности данной точки, а при серьезном уходе от нее члены более высокого порядка могут давать существенный вклад. А гарантий, что достаточно мало — нет.
Для обхода первой проблемы в работе было предложено считать матрицу Гессе только в пределах данного слоя. Такой подход дал лучшее качество по сравнению с magnitude-based бейзлайном.
Но проблема в том, что такая фунция не дифференцируема в окрестности поэтому оптимизировать такую штуку градиентными методами не получится, а не градиентные методы сходятся не так резво и вообще неградиентная оптимизация вполне себе вызов.
Отсюда возникает мысль о том, чтобы заменить ступеньку в на что-то близкое, но гладкое, и первое, что приходит в голову — функция типа сигмоиды:
Параметр — регулирует крутизну — чем больше тем ближе функция к ступеньке, и тем сложнее ее оптимизировать.
(cлева) приближение ступенчатой функции сигмоидой. (справа) Приближение magnitude-pruning.Добавление такого члена в фунцию потерь загоняет часть весов в значения, близкие к 0, и затем их можно отсеять, как в magnitude-based прунинге.
В работе данный подход был применен довольно успешно к ResNet50 и еще ряду современных сверточных архитектур.
— регуляризация
-регуляризация (она же Лассо) довольно хорошо себя зарекомендовала в задачах линейной регресии. При добавлении члена вида в функцию потерь часть весов, в зависимости от коэффициента регуляризации, обращается тождественно в 0. Тем самым осуществляется
feature selection. Увы, для глубоких сетей такого замечательное свойство не имеет места, а наличие регуляризации лишь ограничивает выразительную способность сети. Таким образом, утверждается, что такой метод оказывается не слишком полезным на практике.
Методы, основанные на Байесовских подходах
Если воспринять идею про то, что избыточные веса являются шумом в модели, более близко к сердцу то вполне естественно перейти к Байесовской интерпретации задачи глубокого обучения. А именно, теперь значения весов мы считаем не фиксированными, а накладываем на каждый вес некоторое распределение вероятности.
В оригинальной работе было предложено наложить на веса сети нормальное распределение , т.е с средним и дисперсией
Данный подход мотивирован работой по Гауссовому дропауту (Gaussian dropout), добавляющему мультипликативный шум , где было показано, что такой подход эквивалентен обычному дроауту, где накладывается
бинарная маска на выходы, при условии
То есть веса с большим значением — отвечают зашумленным весам, чье значение может существенно изменяться, без существенного изменения качества предсказания. Поэтому эти веса становятся кандидатами «на выход».
Параметры являются обучаемыми точно так же, как и матожидания весов нейронной сети
В функцию потерь добавляется дополнительный член — KL-дивергенция между априорным распредлелением на веса и апостериорным вместо которой затем считается Variational lower bound.
В приведенных экспрериментах вариационный дропаут превосходит в плане эффективности другие современные ему подходы.
Методы обучения разреженной сети с самого начала
Рассмотренные выше подходы стартуют с плотной модели, где присутствуют все веса.Но вполне допустимо начать обучение с разреженной модели, занулив большую часть весов на первом шаге. Есть две основные стратегии дальнейшей оптимизации :
Фиксированная разреженность
Маски нулевых и ненулевых весов зафиксированы на первом шаге, и не меняются в дальнейшем. (SNIP, GraSP)
Динамическая разреженность
Время от времени маски весов обновляются — часть весов, что были отличны от нуля, прореживаются, но на их место добавляются новые веса, те, что ранее были нулевыми, согласно некоторому критерию (SET, RigL).
SNIP (Single-shot Network Pruning based on Connection Sensitivity)
SNIP определяет важные веса до начала обучения в зависимости от их влияния
на лосс-функцию .
Лосс-функция считается на одном батче, причем размер батча берется равным числу классов а задаче классификации.
Лично мне кажется данный критерий довольно сомнительным , так как градиент в момент инициализации, а тем более на одном батче, не обязан быть сонаправлен с дальнейшей эволюцией весов.
Кроме того, в случае большой степени разреженности может быть так, что в каком-то слое не останется живых весов вообще
.А при наличии нулевой операции дальнейшей обучение сети невозможно.Но тем не менее, несмотря на вышеперечисленные соображения, в экспериментах такой способ работает довольно неплохо.
SET и RigL
SET и RigL, в отличие от SNIP и GraSP, периодически обновляют маски весов. В качестве критерия отбрасывания используется старый добрый magnitude pruning. SET выбирает новые веса для наращивания случайным образом, RigL считает градиент в данной точке, сняв маску, чтобы градиент мог быть отличным от нуля для всех весов, и добавляет те веса — для которых градиент наибольший. То есть выбирает те веса, которые могут потенциально максимально изменить лосс-функцию.
В работе по SET было показано, что обновление весов приводит к лучшему качеству, чем фиксированная разреженность. RigL, использующий более «умный» критерий наращивания весов, превосходит SET в приведенных экспериментах.
GraSP (Gradient Signal Preservation)
В этой работе было предложено использовать более сложный критерий, чем SNIP, для определения важности весов, использующий информацию второго порядка о функции потерь:
Здесь — сдвиг, зануляющий данный вес.
Наличие матрицы Гессе может подвергнуть сомнению применение данного метода на сетях, существенно отличных от игрушечных, но на самом деле данная матрица не вычисляется явно, а только произведение матрицы и вектора. (такая операция есть из коробки в Торче.
Согласно приведенным в статье экспериментам, GraSP превосходит SNIP при прунинге ResNet32 на CIFAR-10(100). В то же время в большинстве случаев SNIP отрабатывает лучше на старушке VGG19.
Авторы утверждают, что при их подходе градиент имеет большую величину по сравнению с другими подходами, благодаря чему должна иметь место более быстрая сходимость процедуры обучения.
Ложка дегтя
Несмотря на активной деятельность в данной области и большое разнообразие идей и подходов, все же их применимость на практике достаточно ограничена. Основные критерии, по которым сравниваются разные методы — `Compression ratio` (уменьшение количества параметров) и `Theoretical Speedup` (уменьшение числа операций сложения и умножения) — не всегда приводят к `Practical speedup`. Если для структуриванного прунинга выигрыша добиться гораздо проще, так как в итоге будет получен тензор с меньшим числом каналов или размером свертки, чем исходной, то для неструктурированного прунинга польза на практике наблюдается только при прореживании большого числа весов, так что можно перейти к представлению, работающему с разреженными тензорами.
Кроме того, как подмечено здесь, преимущество того или иного подхода сложно констатировать в силу следующих причин:
Авторы статей не всегда приводят детали экспериментов, и зачастую при сравнении подходов используются разные настройки алгоритмов оптимизации, целевые функции. То есть, невозможно установить превосходство достингнуто за счет того, что данный метод лучше, чем другой, или процедура обучения оказалось удачнее.
Алгоритм прунинга протестирован на небольшом числа датасетов и архитектур.
Слишком мало точек на кривой Парето для того, чтобы делать какие-либо заключения.
Нет доверительных интервалов и оценки погрешности. Отсюда велик риск, что результат может быть зависим от случайных факторов.
Продвинутый метод, использующий информацию второго порядка по лосс-функции, может в итоге не сильно переиграть в итоге простой и грубый magnitude-based прунинг.
Кривая обучения для метода Вуда-Фишера (вариация OBS) и magnitude-based прунинга. По оси ординат отложено качество на тестовой выборке. Резкие скачки соотвествуют моментам прореживания нейронной сети.Кроме того, прореженная нейронная сеть может превзойти исходную архитектуру в плане эффективности, но, как часто бывает, пояляется новая архитектура, более совершенная и навороченная, и сколь ни хороша стратегия прореживания сети, выигрыш от прореживания не столь велик, как от перехода на новую архитектуру. Поэтому поиск архитектурных решений в целом считается более успешным и перспективным направлением.
Парето фронт для разных архитектур на ImageNet. Кружками обозначены исходные модели. Звездочки отвечают прореженным моделям. Нетрудно заметить, что переход на другую архитектуру дает большой выигрыш в плане эффективности.Различные методы прунинга на ImageNet
Относительное изменение качества на отложенной (валидационной) выборке на ImageNet для различной степени прореживания нейронной сети, стратегии и архитектуры нейронной сети. Отрицательное значение означает прирост качества на валидации по сравнению с исходной моделью. Сплошные кривые отвечают лушчей сети из данного семейства.По всей видимости, различные методы прунинга дают более-менее сопоставимый результат в данной задаче. Можно заметить, что прунинг работает более эффективно на более старых архитектурах — AlexNet, VGG, ResNet, и не так хорошо на более современных MobileNet и EfficientNet. Это ожидаемый результат, так как последние две сети были спроектированы специально, чтобы более экономно и эффективно использовать параметры, нет той избыточности, от которой можно легко и безнаказанно избавиться.
Количество работ по различным методам прунинга
Круговая диаграмма, где отражено количество работ, использующих тот или иной метод прореживания сетиЗаключение
Таким образом, прореживание нейронных сетей — это очень актуальная и интересная область деятельности, но в настоящий момент применимость прунинга на практике довольно ограничена. На текущий момент, не сколь либо строгой теории, гарантирующей успех или не успех той или иной стратегии прореживания. Тем не менее, потенциальный выигрыш и польза от сжатия сетей слишком заманчивы и мотивируют дальнейшиме исследования в этой области. Нет причин сомневаться в том, что в ближайшие несколько лет нас ждет кипучая деятельность в этом направлении и с ней множество интересных и вдохновляющих идей.
Список литературы
Иллюстративная математика
Задача
Найдите площадь и периметр цветной части каждой из шести фигур ниже.
Фиолетовые, синие, оранжевые, красные и зеленые фигуры состоят из небольших квадратов со стороной 1 единица и кривых, представляющих собой дугу окружности. Квадраты на желтой фигуре больше других и имеют длину стороны 2 единицы.
Комментарий IM
Цель этого задания — определить площадь и периметр фигур, состоящих из квадратов и долей окружностей.Первые три рисунка требуют только добавления площадей, в то время как последние три требуют, чтобы учащиеся вычитали площадь одного региона из другого. Кроме того, красные и зеленые фигуры имеют более сложные границы, потому что у них есть «дыры» в дополнение к «внешним» краям. Можно думать о периметре таких фигур как о длине границы, где граница — это часть фигуры, которая касается цветной области с одной стороны и белой области с другой.
Это задание предполагает, что учащиеся понимают, что такое площадь и периметр (которые они сначала изучают в 3 классе), и знают, как находить площади и периметры квадратов и кругов.Он задуман как учебное задание, и учащиеся, работающие в парах или небольших группах, могут извлечь пользу, поделившись своими стратегиями определения площади и периметра каждой фигуры.
Студентам, вероятно, понадобится помощь, чтобы понять, что означает периметр красных и зеленых фигур, и учитель может рассмотреть один из двух подходов для ее предоставления. Один из подходов состоит в том, чтобы объяснить, что имеется в виду под периметром, до того, как ученики начнут работу, показывая, например, два концентрических круга с заштрихованной областью между ними и объясняя, что периметр — это длина всех «краев» фигуры, которые граничат заштрихованная часть и незаштрихованная часть фигуры.Другой подход состоит в том, чтобы позволить учащимся обсудить для себя, что, по их мнению, подразумевается под периметром этих фигур, когда они дойдут до него, прекратить работу над заданиями на мгновение, когда все будут готовы их обсудить, и облегчить беседу. Если учащиеся не остановятся на этом сами, им можно будет сказать, каковы условности в подобных случаях, когда фигура имеет «дырочки». поскольку определение периметра в этих случаях неочевидно, позволяя учащимся подумать о том, что могло бы быть разумным определением, прежде чем давать его им, позволяет им разобраться в проблемах и упорно их решать (MP1).
Что такое площадь неправильной формы?
Участок неправильной формы
Неправильные формы — это многоугольники с пятью или более сторонами различной длины. Эти формы или фигуры можно разложить на треугольники, квадраты и четырехугольники для оценки площади.
Вот некоторые примеры неправильной формы:
Предметы повседневного быта неправильной формы
Расчет площади неправильной формы:
Подходы к оценке площади неправильной формы:
Оценка площади с использованием единичных квадратов
Примените эту технику для фигур с кривыми, кроме идеального круга или полукругов и неправильных четырехугольников.В этом методе разделите фигуру на единичные квадраты. Общее количество единичных квадратов, попадающих в форму, определяет общую площадь.
Рисунок: Некоторые примеры неправильной формы
Посчитайте квадрат как «1», если заштрихованная область покрывает более половины при вычислении площади для более точной оценки.
Рис.: Для фигур неправильной формы считайте квадраты с оранжевой и желтой кодировкой как 1.
На следующем рисунке вычислите площадь, посчитав единичные квадраты, что составляет 6.Если обозначить каждую единицу квадрата в сантиметрах, то площадь будет 6 см2.
Рис.: Расчет площади неправильной формы с изогнутыми краями
- Разделение неправильной формы на две или более правильных формы
Используйте этот метод для неправильных форм, которые представляют собой комбинацию треугольников и многоугольников. Используйте предопределенные формулы, чтобы вычислить площадь таких фигур и сложить их вместе, чтобы получить общую площадь.
Например, у неправильной формы мы разделяем несколько ребер на треугольник и три многоугольника.
Общая площадь фигуры определяется как:
⇒ Площадь = Площадь (ABIM) + Площадь (BCGH) + Площадь (CDEF) + Площадь (JKL)
⇒ Площадь = (AB × BI) + (BC × CG) + (CD × DE) + ( 1 ⁄ 2 × LJ × KO)
⇒ Площадь = (10 × 5) + (3 × 3) + (2 × 2) + ( 1 ⁄ 2 × 4 × 4)
⇒ Площадь = 50 + 9 + 4 + 8
⇒ Площадь = 71 см2
- Разделение неправильной формы на две или более правильных формы
В этом методе разложите неправильную форму на несколько квадратов, треугольников или других четырехугольников.В зависимости от формы и кривых, часть фигуры может быть кругом, полукругом или квадрантом.
На следующем рисунке изображена неправильная форма с 8 сторонами, включая одну кривую. Определите неизвестные величины по заданным размерам сторон. Разложите фигуру на два прямоугольника и полукруг.
Площадь фигуры ABCDEF составляет:
Площадь (ABCDEF) = Площадь (ABCG) + Площадь (GDEF) + Площадь (aob)
Площадь = (AB × AG) + (GD × DE) + ( 1 ⁄ 2 × π × ob2)
Площадь = (3 × 4) + (10 × 4) + ( 1 ⁄ 2 × 3.14 × 12)
Площадь = 12 + 40 + 1,57
Площадь = 53,57 см2
Приложение
Оценка площади неправильных фигур — важный метод для рисования карт, построения архитектуры и разметки сельскохозяйственных полей. Применяем концепцию раскроя тканей по заданному дизайну. В старших классах эта техника закладывает основу для таких сложных тем, как вычисление объема, рисование конических сечений и фигур эллиптической формы.
Интересный факт |
- Квадрат
- Прямоугольник
- Треугольник
- Круг
- Площадь
- Неправильные и правильные формы
Периметр и площадь | Математика для гуманитарных наук
Периметр
Периметр — это одномерное измерение, которое проводится вокруг внешней части замкнутой геометрической формы.Давайте начнем обсуждение концепции периметра с примера.
Управляемый пример
Рисунок 1.
Рисунок 2.
У Джозефа нет машины, поэтому он должен ездить на автобусе или ходить пешком. По понедельникам он должен ехать в школу, на работу и снова домой. Его маршрут изображен на рисунке 1.
Очевидный вопрос, который следует задать в этой ситуации: «сколько миль проезжает Джозеф по понедельникам»? Для вычисления мы каждое расстояние: 3 + 6 + 6 = 15.
Джозеф проезжает 15 миль по понедельникам.
Другой способ справиться с этой ситуацией — нарисовать фигуру, представляющую маршрут путешествия Джозефа и помеченную расстоянием от одного места до другого.
Обратите внимание, что маршрут Джозефа представляет собой замкнутую геометрическую фигуру с тремя сторонами (треугольник) (см. Рисунок 2). Что мы можем спросить об этой форме: «каков периметр треугольника»?
Периметр означает «расстояние вокруг замкнутой фигуры или фигуры», и для вычисления мы складываем каждую длину: 3 + 6 + 6 = 15
Наш вывод тот же, что и выше: Джозеф проезжает 15 миль по понедельникам.
Однако мы смоделировали ситуацию с помощью геометрической формы, а затем применили конкретную геометрическую концепцию (периметр , ), чтобы вычислить, как далеко проехал Джозеф.
Примечания по периметру
- Периметр — это одномерное измерение, которое представляет собой расстояние вокруг замкнутой геометрической фигуры или фигуры (без зазоров).
- Чтобы найти периметр, сложите длины каждой стороны формы.
- Если есть единицы, включите единицы в окончательный результат.Единицы измерения всегда будут одномерными (например, футы, дюймы, ярды, сантиметры и т. Д.).
Чтобы вычислить периметр, наши фигуры должны быть замкнуты. На рисунке 3 показана разница между закрытой фигурой и открытой фигурой.
Рисунок 3.
Пример 1
Найдите периметр для каждой из фигур ниже.
- Сложите длину каждой стороны.
- Иногда приходится делать предположения, если длина не указана.
Решения
- 12 шт.
- 40 футов
Пример 2
Как найти периметр этой более сложной формы?
Решение
Просто продолжайте добавлять длины сторон.6 + 7 + 4 + 4 + 5 + 6 + 2 = 34 шт.
Если вы внимательно посмотрите на формы в предыдущих примерах, вы можете заметить некоторые способы записать каждый периметр в виде более явной формулы. Посмотрите, соответствуют ли результаты того, что мы сделали, приведенным ниже формулам.
| Форма | Периметр | |
|---|---|---|
| Треугольник с разной длиной сторон, a , b , c : | [латекс] P = a + b + c \\ [/ латекс] | |
| Квадрат с длиной стороны a : | [латекс] P = a + a + a + a \\ [/ latex] [латекс] P = 4a \\ [/ latex] | |
| Прямоугольник со сторонами a , b : | [латекс] P = a + b + a + b \\ [/ латекс] [латекс] P = a + a + b + b \\ [/ латекс] [латекс] P = 2a + 2b \\ [ / латекс] | |
Окружность
Вы можете понять, что мы еще не обсуждали расстояние вокруг очень важной геометрической формы: круга! Расстояние по окружности имеет особое название — окружность .Чтобы найти длину окружности, воспользуемся этой формулой: C = 2πr
Рисунок 4.
В этой формуле π произносится как «пи» и определяется как длина окружности круга, деленная на его диаметр: [latex] \ displaystyle \ pi = \ frac {C} {d} \\ [/ latex]. Обычно мы заменяем π приближением 3.14. Буква r представляет радиус круга.
Давайте посмотрим, откуда взялась формула для определения окружности. На рисунке 4 показана круглая окружность с радиусом r.
Примечания о
C = 2π rПомните, что в формуле при вычислении длины окружности C = 2π r , мы умножаем , обычно , заменяя 3,14 вместо π:
С = 2 × 3,14 × r
Часто использование () помогает облегчить просмотр различных частей формулы:
С = (2) × (3,14) × ( r )
Происхождение
C = 2π rКак упоминалось ранее, специальное число π определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.Мы можем записать это в форме уравнения как: [latex] \ displaystyle \ frac {C} {d} = \ pi \\ [/ latex]
Из нашей предыдущей работы мы знаем, что для определения неизвестного, C , мы можем переместить d на другую сторону уравнения, написав C = π d. Диаметр полностью пересекает середину круга, поэтому диаметр в два раза больше радиуса. Мы можем обновить C с точки зрения радиуса как C = π (2 r ). После небольшого изменения порядка, в котором написаны наши детали, мы можем сказать, что C = 2π r.
Давайте воспользуемся формулой, чтобы найти длину окружности нескольких окружностей.
Пример 3
Найдите длину окружности каждого из следующих кругов. Оставляйте свои ответы сначала в точном виде, а затем в округленном (до сотых разрядов). (Обратите внимание, что когда указан радиус, его значение центрируется над сегментом радиуса. Когда указан диаметр, его значение центрируется над сегментом диаметра.)
Решения
- Точное значение 8π дюймов; округлено от точного ответа 25.13 дюймов; округлено с использованием 3,14 для π 25,12 из
- Точное 12,44π м; округлено от точного ответа 39,08 м; округлено с использованием 3,14 для π 39,06 м
Точная форма и закругленная форма
- π — число в точной форме. Он не округлый.
- 3,14 — это приближение округленной формы для π
Почему важно, какую форму мы используем? Это важно, потому что при округлении мы вносим ошибку в окончательный результат. Для этого класса такая ошибка обычно приемлема. Однако вы обнаружите, что в других предметах, таких как физика или химия, такой уровень точности имеет большое значение.Давайте посмотрим на пример разницы в формах.
Пример 4
Радиус Луны составляет около 1079 миль. Что такое окружность? Давайте решим это, используя как точную, так и округленную форму:
Точное решение
[латекс] C = 2 \ pi {r} = 2 \ pi (1079) = 2158 \ pi \\ [/ latex]
Чтобы округлить от до точного решения, используйте кнопку π на калькуляторе, чтобы получить
[латекс] 2158 \ pi \ ок. 6779,56 \ [/ латекс]
Округленное решение
[латекс] C = 2 \ pi {r} = 2 (3.14) (1079) \ приблизительно 6776,12 \ [/ латекс]
Обратите внимание, что наши окончательные результаты отличаются. Эта разница — ошибка, созданная при использовании 3,14 в качестве начального приближения для π. Выполняя домашнее задание и тесты, внимательно читайте инструкции по каждой задаче, чтобы определить, какую форму использовать.
Пример 5
Найдите длину окружности или периметра для каждой описанной ниже ситуации. Включите рисунок формы с включенной информацией. Используйте примеры, чтобы определить, какие фигуры рисовать.Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в вашем окончательном результате. Округлите до десятых, если не указано иное.
- Найдите периметр квадрата со стороной 2,17 фута.
- Найдите периметр прямоугольника со сторонами длиной 4,2 и 3,8.
- Найдите периметр треугольника со сторонами длиной 2, 5, 7.
- Найдите длину окружности радиуса 6 дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округлую форму с точностью до десятых.
- Найдите длину окружности круга диаметром 14,8 дюйма. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3,14 для π. Представьте округлую форму с точностью до десятых.
Решения
- 8,68 футов
- 16
- 14
- Точное 12π дюйма, округленное 37,7 дюйма
- Точное значение 14,8π дюйма, округленное 46,5 дюйма
Пример 6
Определение расстояния вокруг нестандартных форм
Основные формулы для периметра прямых фигур и окружности круга помогут нам найти расстояние вокруг более сложных фигур.Найдите расстояние вокруг следующей формы. Округлите окончательный ответ до десятых и используйте 3,14 вместо π.
Решение
34,7 дюйм
Пример 7
Применение периметра и окружности
Наши знания основных геометрических фигур могут быть применены для решения «реальных» задач.
Уолли хочет добавить забор позади своего дома, чтобы дети могли безопасно играть (см. Диаграмму ниже). Он начал измерять свой двор, но отвлекся и забыл закончить измерения перед тем, как пойти в магазин.Если он помнит, что длина задней стены его дома составляет 15 ярдов, есть ли у него достаточно информации, чтобы купить необходимое ему ограждение? Если да, то сколько футов ему следует купить?
Решение
81 фут
Площадь
Давайте еще раз посмотрим на задний двор Уолли из примера 7, чтобы представить следующую концепцию: площадь.
Управляемый пример
Уолли успешно огородил свой двор, но теперь хочет добавить немного озеленения и создать лужайку, как показано ниже.
Он направляется в местный магазин по продаже газонов и обнаруживает, что для того, чтобы определить, сколько дерна ему нужно, он должен вычислить квадратные метры площади, на которой он хочет добавить траву. По пути домой он понимает, что если разделит травянистую территорию на участки размером 1 фут на 1 фут, а затем посчитает их, он сможет определить площадь в квадратных футах. Вот информация, которую Уолли собрал, когда вернулся домой.
Уолли правильно определил, что площадь прямоугольного травянистого участка составляет 30 квадратных футов.
Заметки о зоне
- Площадь — это двумерное измерение, которое представляет количество пространства внутри двумерной формы.
- Чтобы найти площадь, посчитайте количество единичных квадратов внутри фигуры.
- Если есть единицы, включите единицы в окончательный результат. Единицы измерения всегда будут двумерными (например, квадратные футы, квадратные ярды, квадратные мили и т. Д.).
Пример 8
Найдите область для каждой из фигур ниже.
- Не забудьте посчитать единичные квадраты внутри фигуры.
- Есть ли здесь шаблон, который облегчил бы нашу работу?
Пример 9
Как найти область для более сложных фигур? Разбейте области на формы, которые мы узнаем, и сложите значения областей вместе.
Если вы внимательно посмотрите на формы в предыдущих примерах, вы можете заметить некоторые способы записать каждую область в виде более явной формулы.2 \ [/ латекс]
[латекс] A = a \ cdot {b} \\ [/ latex]
(Вы также увидите это как [latex] A = \ text {length} \ cdot \ text {width} \\ [/ latex])
Формулы площади для фигур ниже сложнее получить, поэтому формулы перечислены в таблице.
| Форма | Форма |
|---|---|
Треугольник высотой h и основанием b [латекс] \ displaystyle {A} = \ frac {1} {2} bh = \ frac {bh} {2} \\ [/ latex] Читается как «половина основания, умноженная на высоту» Обратите внимание, что h — это расстояние по прямой от вершины треугольника до другой стороны.2 \ [/ латекс] Читается как «пи, умноженный на радиус в квадрате» | |
Если ваш треугольник такой, как показано на рисунке слева, то высота нарисована и измерена за пределами треугольника. Формула площади такая же. |
Пример 10
Найдите область для каждой описанной ситуации. Создайте рисунок формы с включенной информацией. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в вашем окончательном результате.Используйте 3,14 для π и округлите ответы до десятых, если необходимо.
- Найдите площадь прямоугольника, длина которого составляет 12,9 метра, а высота — треть этой величины.
- Найдите площадь треугольника с основанием [latex] \ displaystyle {24} \ frac {1} {2} \\ [/ latex] дюймов и высотой 7 дюймов.
- Найдите площадь круга с радиусом [latex] \ displaystyle {2} \ frac {1} {3} \\ [/ latex] дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите округленную форму, используя 3,14 для π. Представьте округлую форму с точностью до десятых.
Решения
- 55,5 м 2 или 55,5 кв.м (округлено)
- 85,8 дюйма 2 или 85,8 квадратных дюйма (округлено)
- Точное 49/9 π дюйма 2 , Округленное 17,1 дюйма 2
Пример 11
Найдите область в каждой описанной ситуации. Включите рисунок формы с включенной информацией. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в вашем окончательном результате.Округляйте ответы до десятых, если не указано иное.
- Найдите площадь квадрата со стороной 4,2 фута.
- Найдите площадь прямоугольника со сторонами длиной 4,2 и 3,8.
- Найдите площадь треугольника высотой 7 дюймов и основанием 12 дюймов.
- Найдите площадь круга радиусом 6 дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3,14 для π. Представьте округлую форму с точностью до десятых.
Решения
- 17.64 фута 2 или 17,64 квадратных футов
- 16,0
- 42 дюйма 2 или 42 квадратных дюйма
- Точное значение 36π в 2 или 36π квадратных дюймов, округленное с использованием 3,14 для π 113,0 в 2 или 113,0 квадратных дюймов
Пример 12
Определение области нестандартных форм
Основные формулы площади помогут нам найти площадь более сложных фигур. Это та же проблема, для которой мы нашли периметр ранее. Найдите площадь данной формы.Вычислить, используя 3,14 для π и округлить до ближайшей десятой.
Решение
Округлено с использованием 3,14 для π 25,9 дюйма 2
Пример 13
Применение площади и периметра
Мы можем объединить наши знания о площади / периметре для решения таких проблем, как эта.
Уолли все еще ремонтирует свой дом, и ему нужно завершить проект полов. Он хочет купить достаточно бамбукового пола, чтобы покрыть пространство в комнатах A, C и коридоре B, а также достаточно бамбуковой кромки для плинтусов во всех помещениях.Сколько квадратных футов пола и сколько футов плинтусов ему следует купить?
Решение
256 футов 2 настил, 108 футов окантовка
круговых графиков (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet
Круг такой же, как 360 °. Вы можете разделить круг на более мелкие части. Часть круга называется дугой, а дуга — в соответствии с ее углом.
Круговая диаграмма или круговая диаграмма используются для визуализации информации и данных.Круговой график обычно используется для простого отображения результатов расследования в пропорциональной манере. Дуги кругового графа пропорциональны тому, сколько процентов населения дало определенный ответ.
Пример
В старшей школе Mathplanet было проведено расследование, чтобы выяснить, какой цвет джинсов был наиболее распространенным среди учеников. Этот круговой график показывает, сколько процентов школ было определенного цвета. Теперь мы хотим знать, скольким углам соответствует каждый процент.{\ circ} $
Когда мы хотим нарисовать круговой график самостоятельно, нам нужно переписать проценты для каждой категории в градусы круга, а затем использовать транспортир для построения графика.
Пример
Если мы спросим 100 человек, какая телепрограмма им нравится больше всего, мы получим такой результат.
| Телепрограмма | Лица |
| Анатомия Грея (GA) | 17 |
| Гриффины (ФГ) | 34 |
| Настоящая кровь (ТБ) | 15 |
| Сплетница (ГГ) | 26 |
| Самые смешные домашние видео Америки (AFV) | 8 |
Мы знаем, что всего 100 человек.{\ circ} $
И затем мы используем транспортир, чтобы нарисовать диаграмму. Это будет выглядеть примерно так:
Видеоурок
Найдите значения в градусах
3 НОМЕР: ЧТО ЕСТЬ ЗНАТЬ? | Сложим: помощь детям в изучении математики
классических времен, написал бумагу в виде письма королю своего города, объясняя, как писать такие очень большие числа.Однако Архимед не зашел так далеко, чтобы изобрести десятичную систему счисления с возможностью неограниченного расширения. | |
22. | Кнут, 1974, стр. 323. |
23. | Steen, 1990. См. Морроу и Кенни, 1998, чтобы узнать больше об алгоритмах. |
24. | Точки с многоточием «…» в выражении являются важной частью абстрактной математической записи, компактно обозначающей пропуск необходимых терминов (для достижения м, в данном случае ). |
Бер, М.Дж., Харел, Г., Пост, Т., И Леш Р. (1992). Рациональное число, соотношение и пропорция. В D.A.Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям по преподаванию и изучению математики (стр. 296–333). Нью-Йорк: Макмиллан.
Bruner, J.S. (1966). К теории обучения . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press.
Куоко, А. (Ред.). (2001). Роли представления в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики 2001 г.).Рестон, Вирджиния: NCTM.
Дюваль Р. (1999). Представление, видение и визуализация: когнитивные функции в математическом мышлении. Основные вопросы для обучения. В F.Hitt & M.Santos (Eds.), Proceedings of the двадцать первого ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (том 1, стр. 3–26). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию. (ERIC Document Reproduction Service No.ED 433 998).
Фройденталь, Х. (1983). Дидактическая феноменология математических структур . Дордрехт, Нидерланды: Рейдел.
Грино, Дж. Дж., И Холл, Р. (1997). Практика репрезентации: изучение репрезентативных форм и о них. Дельта Фи Каппан , 78 , 1–24. Доступно: http://www.pdkintl.org/kappan/kgreeno.htm. [10 июля 2001 г.].
Капут,]. (1987). Системы представлений и математика.В C.Janvier (Ed.), Проблемы представления в преподавании и изучении математики (стр. 19–26). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.
Knuth, D.E. (1974). Информатика и ее отношение к математике. Американский математический ежемесячник , 81 , 323–343.
Lakoff, G., & Núñez, R.E. (1997). Метафорическая структура математики: набросок когнитивных основ математики, основанной на разуме. В Л.D.English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и образы (стр. 21–89). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.
Морроу, Л.Дж., и Кенни, М.Дж. (ред.). (1998). Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики за 1998 год). Рестон, Вирджиния: NCTM.
Пимм, Д. (1995). Символы и значения в школьной математике . Лондон: Рутледж.
Рассел, Б.(1919). Введение в математическую философию . Нью-Йорк: Макмиллан.
Сфард А. (1997). Комментарий: О метафорических корнях концептуального роста. В L.D. English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 339–371). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.
Что такое площадь? Определение, Формула площади форм
Площадь — это пространство, занимаемое двухмерной фигурой. Другими словами, это величина, которая измеряет количество единичных квадратов, покрывающих поверхность замкнутой фигуры.Стандартная единица площади — квадратные единицы, которые обычно представлены как квадратные дюймы, квадратные футы и т. Д. Давайте узнаем, как рассчитать площадь различных геометрических фигур с помощью примеров и практических вопросов.
Что означает площадь?
Слово «площадь» означает свободную поверхность. Площадь фигуры рассчитывается по ее длине и ширине. Длина является одномерной и измеряется в таких единицах, как футы (футы), ярды (ярды), дюймы (дюймы) и т. Д.Однако площадь фигуры — это двумерная величина. Следовательно, он измеряется в квадратных единицах, таких как квадратные дюймы или (в 2 ), квадратные футы или ( 2 футов), квадратный ярд или ( 2 ярдов) и т. Д. Большинство объектов или форм имеют края и углы. Длина и ширина этих краев учитываются при расчете площади конкретной формы.
Как рассчитать площадь?
Давайте посмотрим, как вычислить площадь фигуры с помощью сетки.Площадь любой формы — это количество единичных квадратов, которые могут в нее поместиться. Сетка состоит из множества квадратов со сторонами 1 единица на 1 единицу. Площадь каждого из этих квадратов составляет 1 квадратную единицу. Следовательно, каждый квадрат известен как единичный квадрат. Посмотрите на рисунок, показанный ниже. Найдем площадь нарисованной фигуры в сетке.
Площадь этой фигуры — это количество заштрихованных квадратов.
Таким образом, площадь фигуры = 9 квадратных единиц. Теперь давайте посмотрим на другой пример.Когда фигура не занимает полный единичный квадрат, мы можем приблизиться и найти ее значение. Если он занимает около 1/2 единицы квадрата, мы можем объединить две такие половинки, чтобы получить площадь в 1 квадратную единицу. Обратите внимание на рисунок, приведенный ниже.
Здесь площадь, занимаемая фигурой, равна 4 полным квадратам и 8 полуквадратам. Вместе это составляет 8 квадратных единиц. Если заштрихованная область меньше 1/2, мы можем опустить эти части. Для правильных форм у нас есть определенные формулы для расчета их площади.Обратите внимание, что это только приблизительное значение.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника — это занимаемое им пространство. Рассмотрим желтый прямоугольник в сетке. Он занял 6 единиц.
В приведенном выше примере длина прямоугольника составляет 3 единицы, а ширина — 2 единицы. Площадь прямоугольника получается путем умножения его длины и ширины, что аналогично подсчету единичных квадратов. Таким образом, формула для площади прямоугольника равна : Площадь прямоугольника = длина × ширина. В данном случае это будет 2 × 3 = 6 квадратных единиц.
Площадь квадрата
Площадь квадрата — это занимаемая площадь. Посмотрите на цветной квадрат, показанный в сетке ниже. Он занимает 25 квадратов.
Из рисунка видно, что длина каждой стороны цветного квадрата равна 5 единицам. Следовательно, площадь квадрата — это произведение его сторон, которое можно представить формулой: Площадь квадрата = сторона × сторона. Итак, площадь этого квадрата = 5 × 5 = 25 квадратных единиц.
Площадь круга
Круг имеет изогнутую форму. Площадь круга — это пространство, заключенное в пределах круга. Узнайте больше о π и радиусе, прежде чем мы перейдем к формуле для площади круга.
Площадь круга вычисляется по формуле: π r 2 , где π — математическая константа, значение которой приблизительно равно 3,14 или 22/7, а r — радиус круга.
Площадь геометрических фигур — Формула
Каждая форма имеет разные размеры и формулы.В следующей таблице представлен список формул для площади различных форм.
| Форма | Площадь форм — формула |
|---|---|
Квадрат | Площадь квадрата = x 2 квадратных единиц |
Прямоугольник | Площадь прямоугольника = длина × ширина = квадратные единицы l × w |
Круг | Площадь круга = π r 2 квадратных единиц |
Треугольник | Площадь треугольника = \ (\ dfrac {1} {2} \ times b \ times h \) единиц квадрата |
Параллелограмм | Площадь параллелограмма = основание × высота = b × h квадратных единиц |
Равнобедренная трапеция | Площадь равнобедренной трапеции = \ (\ dfrac {1} {2} (a + b) h \) квадратных единиц |
Ромб | Площадь ромба = \ (\ dfrac {1} {2} \ times (d1) \ times (d2) \) квадратных единиц |
Воздушный змей | Площадь воздушного змея = \ (\ dfrac {1} {2} \ times (d1) \ times (d2) \) квадратных единиц |
☛ Связанные темы в области
Ознакомьтесь со следующими темами, относящимися к областям различной формы, и узнайте больше о формулах площади.
Советы и хитрости
- Мы часто заучиваем формулы для вычисления площади фигур. Более простой способ — использовать линии сетки, чтобы понять, как была получена формула.
- Мы часто путаемся между площадью и периметром фигуры. Полное понимание может быть достигнуто, отслеживая поверхность любой формы и наблюдая, что область — это, по сути, пространство или область, покрытая формой.
Часто задаваемые вопросы по Area
Что такое площадь?
Площадь фигуры — это двумерная величина, которая измеряется в квадратных дюймах или (в 2 ), квадратных футах или ( 2 футов), квадратном ярде или ( 2 ярдов) и т. Д. .
Как найти область неправильной формы?
Площадь неправильной формы можно найти, разделив ее на единичные квадраты. Когда фигура не занимает весь единичный квадрат, мы можем приблизительно определить и найти ее значение.
Как доказать площадь круга?
Если круг складывается в треугольник, радиус становится высотой треугольника, а периметр становится его основанием, равным 2 × π × r. Мы знаем, что площадь треугольника определяется путем умножения его основания и высоты, а затем деления на 2, что составляет: ½ × 2 × π × r × r.Следовательно, площадь круга равна π r 2 .
Что такое периметр и площадь треугольника?
Общая длина границы замкнутой формы называется ее периметром. Другими словами, периметр — это сумма сторон двухмерной фигуры. Периметр треугольника равен сумме трех сторон треугольника, а площадь треугольника равна
.Каковы формулы площади и периметра квадрата и прямоугольника?
Формулы площади и периметра квадрата и прямоугольника следующие.Площадь квадрата = сторона × сторона. Периметр квадрата = 4 × стороны. Площадь прямоугольника = длина × ширина. Периметр прямоугольника = 2 × (длина + ширина)
Почему площадь выражается в квадратных единицах?
Площадь фигуры — это количество единичных квадратов, необходимых для ее полного покрытия. Поэтому он измеряется и выражается в квадратных единицах.
Оценка, приближение и округление | SkillsYouNeed
Иногда бывает полезно знать приблизительный ответ на расчет.
Возможно, вы находитесь в магазине и хотите в общих чертах узнать, сколько вам придется заплатить.
Возможно, вам потребуется приблизительно знать, сколько денег вам нужно, чтобы оплатить пару счетов.
Вы также можете приблизительно узнать, каким будет правильный ответ на более сложные вычисления, чтобы проверить правильность вашей детальной работы.
Какими бы ни были ваши конкретные потребности, вы хотите знать, как оценить или приблизить правильный ответ.
Округление
Округление — это одна очень простая форма оценки.Округление часто является ключевым навыком, необходимым для быстрой оценки числа. Здесь вы упрощаете длинное число, «округляя» или выражая его через ближайшую единицу, десять, сотню, десятую часть или определенное количество десятичных знаков.
Например, от 1,654 до ближайшей тысячи будет 2,000. С точностью до 100 это 1700. С точностью до десяти это 1650.
Принцип работы прост: вы смотрите на первое место справа от уровня, до которого вы округляете, и видите, ближе ли оно к 0 или 10.
На практике это означает, что если вас попросили округлить до ближайшего 10, вы смотрите на единицы. Если вы округляете до трех десятичных знаков, вы смотрите на четвертый десятичный разряд (четвертое число справа от десятичной точки) и так далее. Если это число 5 или больше, вы округляете до следующего числа, а если оно 4 или меньше, вы округляете в меньшую сторону.
Округлить в большую или меньшую сторону?
Мы округляем числа, чтобы уменьшить количество цифр, сохраняя результат как можно ближе к исходному числу.
Числа меньше 5 округляются в меньшую сторону.
Числа от 5 округляются в большую сторону.
Округление до одного десятичного знака:
- 1,47 округления до 1,5
- 1,42 раунда до 1,4
- 1,4535 412 раунда до 1,5
Округление: отработанные примеры
Пример 1
Express 156 с точностью до 10
В этом примере вы смотрите на десятки и единицы.Сотни не изменятся. Вам нужно решить, будет ли число 56 округлено до 60 или до 50.
Глядя на единицы, вы знаете, что 6 больше, чем 5, поэтому вы округляете их в большую сторону.
Ответ — 160.
Пример 2
Экспресс 0,4563948 с точностью до трех десятичных знаков.
Поскольку вы работаете с тремя десятичными знаками, ответ будет начинаться с 0,45, и вам нужно определить третье число после десятичной точки
Чтобы определить, будет третье число 6 или 7, вам нужно посмотреть на четвертое число, то есть 3.Поскольку 3 меньше 5, вы округляете в меньшую сторону.
Следовательно, ответ — 0,456.
Вы можете использовать технику округления, чтобы начать оценивать ответ на более сложные проблемы.
Оценка
Оценка может рассматриваться как «немного лучше, чем обоснованное предположение». Если предположение является полностью случайным, обоснованное предположение может быть немного ближе.
Оценка или приближение должны дать вам в целом правильный ответ, скажем, с точностью до ближайших 10 или 100, если вы работаете с большими числами.
Вероятно, самый простой способ оценить — округлить все числа, с которыми вы работаете, до ближайшего 10 (или 100, если вы работаете в тысячах в то время), а затем выполнить необходимые вычисления.
Например, , если вы оцениваете, сколько вам придется заплатить, сначала округлите каждую сумму в большую или меньшую сторону до ближайшей денежной единицы, фунта, доллара, евро и т. Д. Или даже до ближайших 10 единиц (10 фунтов стерлингов, 10 долларов США, 10 евро), а затем сложите округленные суммы.
Многие магазины любят указывать цены, заканчивающиеся на 0,09 и особенно на 0,99. Причина этого в том, что рубашка стоимостью 24,99 «звучит» дешевле, чем рубашка стоимостью 25,00. При покупке большого количества товаров может быть полезно вести текущий счет, оценку общей стоимости, округляя товары до ближайшей денежной единицы, фунтов стерлингов, долларов США, евро и т. Д.
Если вы пытаетесь определить, сколько ковра вам понадобится, округлите длину каждой стены до ближайшего метра или полуметра, если расчет остается простым, и умножьте их, чтобы получить площадь.
Предупреждение!
Если вы полагаетесь на свои расчеты, чтобы убедиться, что у вас достаточно чего-то, будь то деньги или ковер, всегда округляйте. Таким образом, вы всегда будете переоценивать. Даже инженеры используют этот подход, когда думают о дизайне конструкции перед тем, как составить подробную спецификацию. Лучше иметь компонент, который немного сильнее, чем должен быть, чем слишком слабый.
Пример 1
Хотите купить ковролин на две комнаты.Первый — 3,2 на 2,7 метра. Второй меньше, 1,16 на 2,5 метра. Сколько ковров нужно купить, чтобы их хватило на обе комнаты?
Первая комната размером примерно 3 на 3 м, что составляет 9 м. 2 .
Второй — чуть больше 1 на 2,5 метра. Строго говоря, вы бы округлили это до 1 м на 2,5 м, или 2,5 м 2 .
Итого, это 11,5 млн. 2 . Трудно купить ковер в чем-либо, кроме целого 2 м, поэтому вам нужно округлить до 12 м 2 .В каждом случае вы округлили одно из чисел больше, чем второе, так что, вероятно, все в порядке.
Быстрая проверка с помощью калькулятора действительно подтвердит, что вам нужно ровно 11,54 м 2 . 12м 2 хватит.
Пример 2
Вы решили добавить еще одну комнату к покупке ковра. Размер последней комнаты составляет 3,9 м на 2,2 м. Сколько ковра мне нужно на все три комнаты?
3,9 м округлено до 4 м.2,2 м округляется до 2 м.
2 × 4 составляет 8 м 2 , что дает общую сумму для всех трех комнат размером 20 м 2 .
Однако при округлении до 2 м вы вычли 0,2 м. Округляя до 4 м, вы добавляете только 0,1 м.
Вы можете заказать недостаточно ковра, хотя это может сойти с рук, потому что вы округлили до 12 м. 2 для первых двух комнат.
Однако, чтобы быть абсолютно уверенным, вы, вероятно, захотите округлить 2,2 м до 2,5 м.
Умножьте 2,5 на 4, чтобы получить 10 м 2 . Это означает, что вам понадобится 22 м 2 ковра для всех трех комнат.
Быстрая проверка с помощью калькулятора подтвердит, что 20 м 2 недостаточно: вам нужно ровно 20,9 м 2 .
Необходимо напомнить, как рассчитать площадь? См. Нашу страницу Расчет площади для получения помощи.
Расчетное время прибытия (ETA)
Расчетное время прибытия часто используется во время путешествий.Поезда, автобусы, самолеты, корабли и автомобильная спутниковая навигация (спутниковая навигация) используют ETA.
Расчетное время прибытия основано на расстоянии и скорости движения, оно является «приблизительным», поскольку не может учитывать изменения скорости во время поездки. Ваш рейс может прибыть раньше срока из-за попутного ветра. Ваша поездка может занять больше времени, чем ожидалось, из-за пробок.
ETA обычно рассчитывается компьютером и может измениться во время поездки. По мере того, как вы приближаетесь к месту назначения, становится доступным больше данных, поэтому расчетное время вашего прибытия становится более точным.
Особый случай: оценка работы
Вы почти наверняка столкнетесь с «оценками» предстоящих работ, будь то строитель, сантехник, механик или другой специалист.
В этом случае заинтересованный торговец, вероятно, оценил, сколько времени он может потратить на выполнение работы, умножил это на свою почасовую или дневную ставку и, возможно, добавил дополнительные расходы на материалы или вызов.
Они также могли добавить « на случай непредвиденных обстоятельств » для дополнительной работы, которая, вероятно, составит 10 или 20%, и будет означать, что вы не будете неприятно удивлены счетом, если они обнаружат что-то неожиданное, требующее исправления.
«Оценка» не имеет юридической силы. Это просто то, что он говорит: оценка.
Тем не менее, «цитата» или «цитата» на выполненную работу является юридически обязательной в отношении стоимости при условии, что выполненная работа соответствует тому, на что была указана цена.
